Page 325 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 315 — #321
✐ ✐

4.2 Funci´ on de probabilidad conjunta 315

las dos primeras l´ıneas de estos c´alculos.

1{2 1{2
ż ż
PpX ă 1{2,Y ă 1{2q“ fpx, yq dxdy
´8 ´8
ż 1{2 ż 1{2
“ px ` yq dxdy
0 0
ż 1{2
2 ˇ x“1{2
“ px {2 ` xyq ˇ dy
x“0
0
ż 1{2
“ p1{8 ` y{2q dy
0
“ 1{8.
‚

Ejemplo 4.7 Encontraremos la constante c para que la siguiente funci´on
sea de densidad.
#
cxy si 0 ă x ă y ă 1,
fpx, yq“
0 en otro caso.
La constante c debe ser tal que la funci´on fpx, yq es no negativa y que su
integral sobre todo el plano sea uno. De esta ´ultima condici´on obtenemos
que
1
c c
ż 8 ż 8 ż ż y ż 1
3
fpx, yq dxdy “ cxy dxdy “ y dy “ .
´8 ´8 0 0 0 2 8
Por lo tanto, c “ 8. La gr´afica de la funci´on fpx, yq se muestra en la Figu-
ra 4.7. Como un ejemplo calcularemos PpX ă 1{2,Y ă 1{2q. Observe con
cuidado los siguientes c´alculos.

ż 1{2 ż 1{2
PpX ă 1{2,Y ă 1{2q“ fpx, yq dxdy
´8 ´8
ż 1{2 ż y
“ 8xy dxdy
0 0
ż 1{2
3
“ 4y dy
0
“ 1{16.

✐ ✐

✐ ✐