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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 311 — #317
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4.2 Funci´ on de probabilidad conjunta 311

escribirse de la siguiente manera.

$
’ 0.3 si x “´1,y “ 0,
’
’
’ 0.1 si x “´1,y “ 1,
’
’
&
fpx, yq“ 0.4 si x “ 1,y “ 0,
’
’ 0.2 si x “ 1,y “ 1,
’
’
’
’
0 en otro caso.
%
Como todos estos valores son probabilidades, naturalmente son no negativos
y todos ellos suman uno. Por lo tanto, fpx, yq es, efectivamente, una funci´on
de probabilidad bivariada. ‚
Ejemplo 4.4 Encontraremos la constante c que hace que la siguiente fun-
ci´on sea de probabilidad conjunta.

#
cxy si px, yqPt1, 2uˆt1, 2u,
fpx, yq“
0 en otro caso.
Los posible valores del vector pX, Y q son p1, 1q, p1, 2q, p2, 1q y p2, 2q, con
probabilidades respectivas c,2c,2c y4c. Como la suma de estas probabili-
dades debe ser uno, se llega a la ecuaci´on 9c “ 1, de donde se obtiene que
c “ 1{9. ‚

Veamos ahora la situaci´on en el caso de vectores aleatorios continuos.

Definici´on 4.3 Sea pX, Y q un vector aleatorio continuo. Se dice que la
2
funci´on integrable y no negativa fpx, yq : R Ñr0, 8q es la funci´on de
densidad del vector pX, Y q o bien que es la funci´on de densidad conjunta
2
de las variables X y Y si para todo par px, yq en R se cumple la igualdad

ż x ż y
PpX ď x, Y ď yq“ fpu, vq dv du. (4.1)
´8 ´8

La doble integral que aparece en (4.1) representa el volumen bajo la su-
perficie dada por la funci´on fpu, vq sobre la regi´on que se encuentra a la

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