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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 313 — #319
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4.2 Funci´ on de probabilidad conjunta 313

pa ă X ă bqXpc ă Y ă dq se calcula como el volumen bajo la super-
ficie fpx, yq en el rect´angulo pa, bqˆpc, dq,es decir,

b
ż ż d
Ppa ă X ă b, c ă Y ă dq“ fpx, yq dy dx.
a c

Ejemplo 4.5 La siguiente funci´on es una de las funciones de densidad con-
junta m´as sencillas, se trata de la distribuci´on uniforme continua bidimen-
sional. Sean a ă b, c ă d, y defina la funci´on

1
$
& si a ă x ă b, c ă y ă d,
fpx, yq“ pb ´ aqpd ´ cq
0 en otro caso.
%
La gr´afica de fpx, yq aparece en la Figura 4.5. Esta es una funci´on constante
positiva en el rect´angulo pa, bqˆpc, dq y es de densidad pues es no negativa e
2
2
integra uno sobre R . La doble integral sobre R es simplemente el volumen
del paralelep´ıpedo que se muestra en la Figura 4.5.

fpx, yq

c
a d y

b
x

Figura 4.5

Se pueden comprobar f´acilmente, por ejemplo, las siguientes probabilidades.

a) Pp´8 ă X ă b, ´8 ă Y ă dq“ 1.

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