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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 308 — #314
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308 4. Vectores aleatorios

Definici´on 4.2 La funci´on de probabilidad del vector aleatorio discreto
pX, Y q, en donde X toma los valores x 1 ,x 2 ,... y Y toma los valores
2
y 1 ,y 2 ,..., es la funci´on fpx, yq : R Ñr0, 1s dada por

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PpX “ x, Y “ yq si px, yqPtx 1 ,x 2 ,...uˆ ty 1 ,y 2 ,...u,
fpx, yq“
0 en otro caso.

Es decir, la funci´on fpx, yq es la probabilidad de que la variable X tome
el valor x y, al mismo tiempo, la variable Y tome el valor y. Tal funci´on
se llama tambi´en funci´on de probabilidad conjunta de las variables X y Y ,
y para enfatizar este hecho a veces se escribe f X,Y px, yq, pero en general
omitiremos los sub´ındices para hacer la notaci´on m´as corta, aunque siempre
asociando el valor x a la variable X y el valor y a la variable Y . Haremos uso
de los sub´ındices ´unicamente cuando sea necesario especificar las variables
aleatorias en estudio. Toda funci´on fpx, yq de la forma anterior cumple las
siguientes dos propiedades.

a) fpx, yq ě 0.

ÿ
b) fpx, yq“ 1.
x, y

La suma indicada en realidad es una doble suma, una sobre todos los po-
sibles valores x y otra sobre todos los posibles valores y, no importando el
orden en el que se efect´uan las sumas. Inversamente, toda funci´on definida
2
sobre R que sea cero, excepto en un conjunto discreto de parejas px, yq y
que cumpla estas dos propiedades, se llama funci´on de probabilidad bivaria-
da o conjunta, sin necesidad de contar con dos variables aleatorias previas
que la definan.

Otra forma equivalente de presentar a la funci´on de probabibilidad de un
vector discreto pX, Y q es a trav´es de una tabla como la siguiente.

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