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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 274 — #280
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274 3. Distribuciones de probabilidad

394. Suma. Utilice la f.g.m. para demostrar que si X y Y son dos variables
aleatorias independientes con distribuci´on gammapα 1 , λq y gammapα 2 , λq,
respectivamente, entonces
X ` Y „ gammapα 1 ` α 2 , λq.

395. Utilice la f.g.m. para demostrar la Proposici´on 3.4 de la p´agina 271.

396. Funci´on de distribuci´on: caso particular. Sea X una variable
aleatoria con distribuci´on gammapn, λq en donde n es un entero po-
sitivo. Denote por F n pxq a la funci´on de distribuci´on de esta variable
aleatoria y defina F 0 pxq como la funci´on de distribuci´on de la variable
aleatoria constante cero. Demuestre que para x ą 0,
n´1
pλxq ´λx
a) F n pxq“ F n´1 pxq´ e .
pn ´ 1q!
n´1 k 8 k
ÿ pλxq ´λx ÿ pλxq ´λx
b) F n pxq“ 1 ´ e “ e .
k! k!
k“0 k“n
397. Algunas propiedades de la funci´on gamma. Demuestre las si-
guientes propiedades de la funci´on gamma. Para el ´ultimo inciso podr´ıa
ayudar consultar la distribuci´on normal que estudiaremos m´as adelan-
te.

a) Γpα ` 1q“ α Γpαq.
b) Γpα ` 1q“ α!si α es un entero positivo.
c) Γp2q“ Γp1q“ 1.
?
d) Γp1{2q“ π.

3.11. Distribuci´on beta

Decimos que la variable aleatoria continua X tiene una distribuci´on beta
con par´ametros a ą 0y b ą 0, y escribimos X „ betapa, bq, cuando su
funci´on de densidad es
1
$
& x a´1 p1 ´ xq b´1 si 0 ă x ă 1,
fpxq“ Bpa, bq
0 en otro caso.
%

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