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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 262 — #268
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262 3. Distribuciones de probabilidad

361. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on unifp´1, 1q.Demuestre
que el n-´esimo momento de X est´a dado por

#
0 si n es impar,
n
EpX q“
1{pn ` 1q si n es par.
362. Momentos. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on unifpa, bq.
Demuestre que el n-´esimo momento de X est´a dado por
b n`1 ´ a n`1
n
EpX q“ .
pn ` 1qpb ´ aq

363. Cuantil. Sea p Pp0, 1q. Encuentre una expresi´on para el cuantil al
100p % de la distribuci´on unifpa, bq.
364. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on unifpa, bq.De-
muestre que la funci´on generadora de momentos de X es la funci´on
Mptq que aparece abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades en-
cuentre nuevamente la esperanza y la varianza de esta distribuci´on.

bt
e ´ e at
Mptq“ , t ‰ 0.
tpb ´ aq

365. Simulaci´on. Sea U una variable aleatoria con distribuci´on unifp0, 1q.
Sean a ă b dos constantes. Demuestre que la variable X “ a`pb´aqU
tiene distribuci´on unifpa, bq. Este es un mecanismo para obtener valo-
res al azar de la distribuci´on unifpa, bq a partir de valores al azar de la
distribuci´on unifp0, 1q. Esta ´ultima distribuci´on aparece implementada
en varios sistemas de c´omputo.

366. Sea ϵ ą 0. Se escoge un n´umero al azar X dentro del intervalo p0, 1q.
Encuentre

a) P|X ´ 1{2| ą ϵq.
2
b) Pp2X ´ 1{2q ď ϵq.
Observe que no se especifica la distribuci´on de X. En estos casos
comunmente se supone una distribuci´on uniforme.

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