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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 139 — #145
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2.3 Funci´ on de distribuci´ on 139

Demostraci´on.

a) Sea x 1 ď x 2 ď ¨¨¨ cualquier sucesi´on mon´otona no decreciente de
n´umeros reales divergente a infinito. Para cada natural n defina el
evento A n “pX ď x n q, cuya probabilidad es PpA n q“ Fpx n q.En-
tonces A 1 Ď A 2 Ď ¨¨¨ y puede comprobarse que el l´ımite de esta
sucesi´on mon´otona de eventos es Ω. Por la propiedad de continuidad
de la probabilidad para sucesiones mon´otonas,

1 “ PpΩq“ Pp l´ım A n q“ l´ım PpA n q“ l´ım Fpx n q.
nÑ8 nÑ8 nÑ8

b) Considere ahora cualquier sucesi´on mon´otona no creciente de n´umeros
reales x 1 ě x 2 ě ¨¨¨ divergente a menos infinito. Defina nuevamente
los eventos A n “pX ď x n q y observe que PpA n q“ Fpx n q. Entonces
A 1 Ě A 2 Ě ¨¨¨ y puede comprobarse que el l´ımite de esta sucesi´on
mon´otona de eventos es el conjunto vac´ıo. Por la propiedad de conti-
nuidad de la probabilidad para sucesiones mon´otonas,

0 “ PpHq “ Pp l´ım A n q“ l´ım PpA n q“ l´ım Fpx n q.
nÑ8 nÑ8 nÑ8

c) Si x 1 ď x 2 entonces pX ď x 1 q Ď pX ď x 2 q. Por lo tanto, PpX ď x 1 q Ď
PpX ď x 2 q,es decir, Fpx 1 q ď Fpx 2 q.

d) Sea 0 ď ¨¨¨ ď x 2 ď x 1 cualquier sucesi´on mon´otona no creciente de
n´umeros reales no negativos convergente a cero. Defina los eventos
A n “px ă X ď x ` x n q y observe que PpA n q“ Fpx ` x n q´ Fpxq.
Entonces A 1 Ě A 2 Ě ¨¨¨ y puede comprobarse que el l´ımite de esta
sucesi´on mon´otona de eventos es el conjunto vac´ıo. Por la propiedad
de continuidad de la probabilidad para sucesiones mon´otonas,

0 “ PpHq “ Pp l´ım A n q“ l´ım PpA n q“ l´ım Fpx ` x n q´ Fpxq.
nÑ8 nÑ8 nÑ8

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Rec´ıprocamente, definiremos a continuaci´on una funci´on de distribuci´on co-
mo aquella que cumpla las cuatro propiedades anteriores.

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