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32 1. An´ alisis exploratorio de datos

La demostraci´on del siguiente resultado se deja como ejercicio. Muestra el
cambio que tiene la varianza bajo transformaciones lineales de los datos.

Multiplicar por una constante corresponde a un cambio de escala y sumar
una constante corresponde a una traslaci´on.

Proposici´on 1.4 Sea varpxq la varianza del conjunto de datos num´eri-
cos x ,...,x ysea varpyq la media de los datos transformados y “
n
i
1
ax ` c,para i “ 1,...,n,en donde a y c son dos constantes arbitrarias.
i
Entonces
2
varpyq“ a ¨ varpxq.

El c´alculo de la varianza para datos agrupados puede efectuarse de la si-
guiente forma: si se tienen n observaciones de k valores distintos x ,...,x k
1
con frecuencias f ,...,f ,lavarianza se reduce alaf´ormula:
k
1
k
1 ÿ
2 2
s “ px ´ ¯xq f .
i
i
n
i“1
Ejercicios

38. Demuestre la Proposici´on 1.4.

39. ¿Puede un conjunto de datos num´ericos tener varianza cero?

40. Considere el conjunto de datos de dos n´umeros: x y x .Encuentre
2
1
estos n´umeros si la media es 2 y la varianza es 9.

41. Sean x ,...,x observaciones num´ericas de una cierta variable de in-
n
1
2
ter´es y sea s su varianza. Demuestre que
n
1 ÿ
2 2 2
a) s “p x q´ ¯x .
i
n
i“1
n
1 ÿ
2 2 2
b) s “r px ´ cq s´p¯x ´ cq , c constante.
i
n
i“1