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Sugerencias a los ejercicios                                                         343



                    61.    a)Se usa el teorema del binomio,


                                                                 n
                                                             1  ÿ
                                            1                                k
                                          m pax ` cq    “          pax i ` cq
                                            k
                                                             n
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                                                                  1  ÿ
                                                              k                     k
                                                        “ a ¨           px i `pc{aqq
                                                                  n
                                                                    i“1
                                                                     n   k  ˆ ˙
                                                                  1  ÿ ÿ      k
                                                              k                    j     k´j
                                                        “ a ¨                    x pc{aq
                                                                  n           j    i
                                                                    i“1 j“0
                                                                  k   ˆ ˙       n
                                                                  ÿ    k    1  ÿ
                                                              k                     j       k´j
                                                        “ a ¨              p      x qpc{aq
                                                                       j    n       i
                                                                 j“0           i“1
                                                                  k   ˆ ˙
                                                                  ÿ    k
                                                              k              1         k´j
                                                        “ a ¨              m pxqpc{aq      .
                                                                             j
                                                                       j
                                                                 j“0
                                                   n                                       n
                                               1  ÿ                                     1  ÿ
                                                                                                       k
                                                                                    k
                                                                             k
                           b) m k pax ` cq“          ppax i ` cq´pa¯x ` cqq “ a ¨             px i ´ ¯xq “
                                               n                                        n
                                                  i“1                                     i“1
                                k
                              a ¨ m k pxq.
                    62. Para cada inciso, cualquiera de las dos opciones es correcta.
                    63. Se omiten las gr´aficas. El total de observaciones es n “ 12. Algunas diferen-
                        cias son provocadas por el redondeo en los c´alculos.

                                  Valor   Frecuencia     Frecuencia     Frecuencia    Frecuencia
                                                         acumulada       relativa       relativa
                                                                                      acumulada


                                   A           4            4              0.33          0.33


                                    B          2            6              0.16          0.5

                                    C          3            9              0.25          0.75


                                   D           3            12             0.25          1



                    64. Se omiten las gr´aficas. Es importante tomar en cuenta que el total de obser-
                        vaciones es n “ 20.
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