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324 Ap´ endice A

la distribuci´on exppθq cuando α “ 1. Por lo tanto, el n-´esimo momento
de esta distribuci´on satisface

ˆ ˙
n α d n´1
EpX q“ ´ EpX q.
θ dθ

0 2
Empezando con EpX q“ 1, se obtiene EpXq“ α{θ, EpX q“
2
3
2
3
2
3
2
3
3
α {θ `α{θ , EpX q“ α {θ `3α {θ `2α{θ ,etc´etera. Factorizando
t´erminos se puede recuperar la f´ormula
n αpα ` 1q¨¨¨pα ` n ´ 1q
EpX q“ .
θ n
El caso α “ 1produce losmomentos de ladistribuci´on exppθq, los
cuales son
n!
n
EpX q“ .
θ n
2
‚ Finalmente consideramos el caso normal. La funci´on de densidad Npθ, σ q
2
puede escribirse en la forma (4) tomando apθq“ e ´θ {2σ 2 , bpxq“
2
1 ´x {2σ 2 θ{σ 2
? e y cpθq“ e . Por lo tanto, el n-´esimo momento de
2πσ 2
esta distribuci´on satisface
ˆ ˙
n 2 d n´1
EpX q“ θ ` σ EpX q.
dθ
2
0
2
2
Empezando con EpX q“ 1, se obtiene EpXq“ θ, EpX q“ θ ` σ ,
4
2 2
3
3
2
4
4
EpX q“ θ ` 3θσ , EpX q“ θ ` 6θ σ ` 3σ ,etc´etera.
Algunos de estos ejemplos muestran que las distribuciones de la forma (4)
pueden tener m´as de un par´ametro. Los resultados siguen siendo v´alidos
siempre y cuando se considere a uno de ellos el par´ametro principal para la
representaci´on, aqu´ıdenotado porlaletra θ,y elresto de lospar´ametros se
consideren como constantes.