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“ED-MathBookFC” — 2017/9/12 — 19:56 — page 139 — #145
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Esto significa que la covarianza hereda de manera idéntica un cambio

de escala en cualquiera de las variables.

Sea c una constante y denotemos por x ` c el conjunto de datos tras-
ladados x 1 ` c, . . . , x n ` c. Recordemos que la media de estos nuevos

datos es ¯x ` c.Entonces

n
1 ÿ
covpx ` c, yq“ ppx i ` cq´p¯x ` cqqpy i ´ ¯yq
n
i“1
n
1 ÿ
“ px i ´ ¯xqpy i ´ ¯yq
n
i“1
“ covpx, yq.

Esto significa que trasladar las observaciones de una o de otra variable,
no tiene ningún efecto sobre la covarianza: su posible correlación lineal
positiva o negativa sigue siendo la misma.

Finalmente, encontraremos una fórmula alternativa para el cálculo de
la covarianza. Multiplicando término a término la expresión de cada
sumando en la definición de covarianza, tenemos que

n
1 ÿ
covpx, yq“ px i ´ ¯xqpy i ´ ¯yq
n
i“1
n
1 ÿ
“ px i y i ´ x i ¯y ´ ¯xy i ` ¯x¯yq
n
i“1
n
n
n
n
1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ
“ x i y i ´ x i ¯y ´ ¯ xy i ` ¯ x¯y
n n n n
i“1 i“1 i“1 i“1
n
n
n
1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ
“ x i y i ´ ¯y x i ´ ¯x y i ` ¯x¯y
n n n
i“1 i“1 i“1
n
1 ÿ
“ x i y i ´ ¯y ¯x ´ ¯x ¯y ` ¯x¯y
n
i“1
n
1 ÿ
“ x i y i ´ ¯x ¯y.
n
i“1

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