Page 94 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 84 — #88
i i

84 1. PROBABILIDAD

f .u; y/ D g.y/. Por lo tanto,
f .Y /
f .Y / P.Y x; U c g.Y / /
P.Y x j U / D
c g.Y / P.U f .Y / /
c g.Y /
f .Y /
D c P.Y x; U /
c g.Y /
Z x Z f .y/=cg.y/
D c g.y/ du dy
1 0
Z x
D c f .y/ dy
1
D P.X x/:
Distribuci´ on normal. Como ejemplo de aplicaci´ on del m´ etodo de aceptaci´ on o re-
chazo, explicaremos la forma de obtener observaciones de una variable aleatoria X
con distribuci´ on normal est´ andar. Puede demostrarse que la funci´ on de densidad de la
variable jXj es
r
2 2
f .x/ D e x =2 ; x 0:

Por otro lado, considere la v.a. Y con distribuci´ on exp./, con D 1, su funci´ on de
densidad es por lo tanto
g.y/ D e y ; y > 0:
Se comprueba que existe una constante c tal que f .x/=g.x/ c, en efecto,
r r r
f .x/ 2 x 2 Cx 2e 1 .x 1/ 2 2e
D e 2 D e 2 :
g.x/
p
Esto demuestra que puede tomarse c D 2e=. De esta forma el procedimiento para
generar valores de jXj es el siguiente: se genera un valor u con distribuci´ on unifŒ0; 1,
se genera un valor y independiente de u, cuando se cumple la desigualdad de abajo
se acepta a y como valor de jXj, de lo contrario se repite este procedimiento hasta
obtener el n´ umero de valores aceptados necesario para jXj.
1 .y 1/ 2
e 2 u:
Sabiendo la forma de generar valores para jXj, podemos ahora generar valores para X
a trav´ es de una v.a. V con distribuci´ on Ber.p/ de par´ ametro p D 1=2, e independiente
de las variables anteriores, de la forma siguiente:

CjXj si V D 0;
X D
jXj si V D 1:
De esta manera X tiene distribuci´ on normal est´ andar. Finalmente, al evaluar en la
2
expresi´ on C X se obtienen valores de la distribuci´ on N.; /.

i i

i i