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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 83 — #87
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10. SIMULACI ´ ON 83

a) Se genera un valor de U con distribuci´ on unifŒ0; 1.
b) Se genera un valor de Y independiente de U .
c) Si se cumple la desigualdad (8) entonces se acepta el valor de Y como valor
de X, de lo contrario se vuelven a generar valores para U y para Y , y se repite
el procedimiento de aceptaci´ on o rechazo hasta obtener el n´ umero necesario
de valores aceptados.

Daremos a continuaci´ on los detalles de la prueba de la Proposici´ on 1.112, en
donde se utilizan algunos conceptos y herramientas un tanto m´ as avanzadas que las que
hemos estudiado hasta ahora, El lector, por tanto, no debe preocuparse en caso de que
no entender el origen y desarrollo de estos c´ alculos. En esta demostraci´ on se muestra
que efectivamente los valores aceptados de Y tienen la misma distribuci´ on que X.

DEMOSTRACI ´ ON. La probabilidad de obtener una aceptaci´ on en cada intento es,
por el teorema de probabilidad total en su versi´ on continua,

f .Y / Z 1 f .y/
P.U / D P.U / g.y/ dy
c g.Y / 1 c g.y/
Z 1 f .y/
D g.y/ dy
1 c g.y/
1 Z 1
D f .y/ dy
c 1
1
D :
c

De modo que la funci´ on de probabilidad del n´ umero de ensayos hasta obtener un
´ exito es f .x/ D .1 p/ x 1 p, para x D 1; 2; : : :, en donde p D 1=c. La media de
esta distribuci´ on es c D 1=p, as´ ı es que mientras m´ as peque˜ no sea el valor de c m´ as
frecuentemente se tendr´ an aceptaciones. La distribuci´ on para el n´ umero de ensayos
hasta obtener un ´ exito que hemos mencionado corresponde a la distribuci´ on de una v.a.
geom´ etrica (as´ ı como la hemos definido en este texto) mas uno. Ahora veamos que la
distribuci´ on condicional de Y , dado que ha tomado un valor aceptado, es la misma que
la distribuci´ on de X. Por independencia, la funci´ on de densidad conjunta de U y Y es

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