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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 80 — #84
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80 1. PROBABILIDAD

Efectivamente se verifica que la v.a. X as´ ı definida tiene la distribuci´ on indicada, pues
para cada n 1,
P.X D x n / D P.p 1 C C p n 1 < U p 1 C C p n / D p n :

En la pr´ actica este mecanismo general funciona perfectamente bien para v.a.s discretas
que toman un n´ umero no muy grande de valores, pero la situaci´ on podr´ ıa ser un
tanto distinta en el caso cuando la variable toma una infinidad de valores, la dificultad
radicar´ a nuevamente en la imprecisi´ on para representar probabilidades muy peque˜ nas.
Por otro lado, debemos mencionar tambi´ en que si contamos con un mecanismo
para generar n´ umeros aleatorios de una variable aleatoria, entonces tambi´ en se pueden
generar n´ umeros al azar de una transformaci´ on de esta variable aleatoria, es decir, si X
una variable aleatoria y g es una funci´ on tal que g.X/ es otra variable, por ejemplo,
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g.X/ D X , o cualquier otra expresi´ on anal´ ıtica, entonces si x es un valor al azar de X,
entonces g.x/ representa un valor al azar de la variable Y D g.X/. Este mecanismo
es bastante ´ util y se aplica para variables aleatorias tanto discretas como continuas.
Veremos a continuaci´ on algunos mecanismos de simulaci´ on de variables aleatorias
continuas.

Simulaci´ on de v.a.s continuas
Consideremos primero el caso de la distribuci´ on uniforme continua.

Distribuci´ on uniforme continua. Si U es una variable con distribuci´ on unifŒ0; 1,
entonces la variable aleatoria X definida de la siguiente manera tiene distribuci´ on
unifŒa; b.
X D a C .b a/U:
M´ etodo de la transformaci´ on inversa. El mecanismo explicado para la distribuci´ on
uniforme continua puede generalizarse usando el siguiente resultado que se conoce
como el m´ etodo de la transformaci´ on inversa.

PROPOSICI ´ ON 1.111 (M´ etodo de la transformaci´ on inversa). Sea X una variable
aleatoria con funci´ on de distribuci´ on F.x/ continua, estrictamente creciente y para la
cual se conoce una expresi´ on para la funci´ on inversa F 1 .u/. Si U tiene distribuci´ on
unifŒ0; 1, entonces la variable F 1 .U / tiene la misma distribuci´ on que X.

DEMOSTRACI ´ ON. Sea Y la variable aleatoria F 1 .U /. Entonces para cualquier
valor y de Y ,
F Y .y/ D P.Y y/
D P.F 1 .U / y/
D P.U F.y//
D F U .F.y//
D F.y/:

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