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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 16 — #20
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16 1. PROBABILIDAD

P.A/ D #A=#˝. Para poder aplicar esta definici´ on necesitamos saber contar cu´ antos
elementos tiene un evento A cualquiera. Cuando podemos poner en una lista todos y
cada uno de los elementos de dicho conjunto, entonces es f´ acil conocer la cardinalidad
de A, simplemente contamos todos los elementos uno por uno. Sin embargo, es com´ un
enfrentar situaciones en donde no es factible escribir en una lista cada elemento de
A, por ejemplo, ¿cu´ antos n´ umeros telef´ onicos existen que contengan por lo menos un
cinco? Es poco factible que alguien intente escribir uno a uno todos estos n´ umeros
telef´ onicos y encuentre de esta manera la cantidad buscada. En las siguientes secciones
estudiaremos algunas t´ ecnicas de conteo que nos ayudar´ an a calcular la cardinali-
dad de un evento A en ciertos casos particulares. El principio de multiplicaci´ on que
enunciamos a continuaci´ on es la base de muchos de los c´ alculos en las t´ ecnicas de
conteo.
PROPOSICI ´ ON 1.18 (Principio de multiplicaci´ on). Si un procedimiento A 1 puede
efectuarse de n formas distintas y un segundo procedimiento A 2 puede realizarse de
m formas diferentes, entonces el total de formas en que puede efectuarse el primer
procedimiento seguido del segundo es el producto n m, es decir, #.A 1 A 2 / D
#A 1 #A 2 .

Para ilustrar este resultado considere el siguiente ejemplo: suponga que un cierto
experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y despu´ es seleccionar al azar una
letra del alfabeto. ¿Cu´ al es la cardinalidad del correspondiente espacio muestral? El
experimento de lanzar un dado tiene 6 resultados posibles y consideremos que te-
nemos un alfabeto de 26 letras. El correspondiente espacio muestral tiene entonces
cardinalidad 6 26 D 156. El principio de multiplicaci´ on es v´ alido no solamen-
te para dos procedimientos sino que tambi´ en vale para cualquier sucesi´ on finita de
procedimientos. Por ejemplo, si A 1 ; A 2 ; : : : ; A k denotan k procedimientos sucesi-
vos, entonces este principio se puede enunciar en s´ ımbolos de la forma siguiente:
#.A 1 A k / D #A 1 #A k .
EJEMPLO 1.19. Un hombre tiene 4 pantalones distintos, 6 camisas, y dos pares
de zapatos. ¿De cu´ antas formas distintas puede el hombre vestirse con estas prendas?
Soluci´ on: 462 D 48. Es decir, el hombre se puede vestir de manera distinta durante
48 d´ ıas sin repetir una combinaci´ on.
Vamos a considerar a continuaci´ on diferentes esquemas y contextos en donde es
posible encontrar una f´ ormula matem´ atica para ciertos problemas de conteo. En todos
ellos aplicaremos el principio de multiplicaci´ on. El esquema general es el de extraer al
azar k objetos, uno a la vez, de una urna con n objetos distintos. Esto se muestra en la
Figura 1.8.

Ordenaciones con repetici´ on: muestras con orden y con reemplazo
Suponga que tenemos una urna con n objetos distintos. Deseamos realizar k extrac-
ciones al azar de un objeto a la vez. Al efectuar una extracci´ on, registramos el objeto

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