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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 14 — #18
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14 1. PROBABILIDAD

En la Figura 1.7 (a) el lector puede comprobar la validez de la f´ ormula anterior
identificando las tres regiones ajenas de las que consta A [ B. El t´ ermino P.A/ abarca
las primeras dos regiones de izquierda a derecha, P.B/ abarca la segunda y tercera
regi´ on. Observe entonces que la regi´ on central ha sido contada dos veces de modo que
el t´ ermino P.A \ B/ da cuenta de ello. De esta forma las tres regiones son contadas
una sola vez y el resultado es la probabilidad del evento A [ B.

A B A B

˝ C ˝
(a) A [ B (b) A [ B [ C

FIGURA 1.7

c
EJEMPLO 1.16. Sean A y B eventos ajenos tales que P.B/ D 0:3 y P.A\B / D
0:2.Encuentre P.A [ B/.
Soluci´ on: Usaremos la f´ ormula P.A [ B/ D P.A/ C P.B/ P.A \ B/. Conocemos
P.B/. Adem´ as P.A \ B/ es cero pues por hip´ otesis los eventos son ajenos, y P.A/ D
c
P.A \ B / D 0:2. ¿Por qu´ e? Por lo tanto, P.A [ B/ D 0:2 C 0:3 D 0:5.
Observe que la f´ ormula anterior es v´ alida para cualesquiera eventos A y B. En
particular, cuando son conjuntos ajenos, es decir, cuando A \ B D ;, entonces la
f´ ormula demostrada se reduce al tercer axioma de la probabilidad, es decir, P.A[B/ D
P.A/ C P.B/. El siguiente resultado es una generalizaci´ on del anterior e involucra
tres eventos cualesquiera. La f´ ormula que a continuaci´ on se demuestra puede tambi´ en
verificarse usando el diagrama de Venn que aparece en la Fig 1.7 (b). Para ello siga los
t´ erminos del lado derecho de la f´ ormula y compruebe que cada regi´ on es contada una
sola vez de modo que el resultado final es la probabilidad del evento A [ B [ C.

PROPOSICI ´ ON 1.17. Para cualesquiera eventos A, B y C,

P.A [ B [ C/ D P.A/ C P.B/ C P.C/ P.A \ B/
P.A \ C/ P.B \ C/ C P.A \ B \ C/:

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