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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 13 — #17
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2. PROBABILIDAD 13

A B

˝

FIGURA 1.6. A B.

DEMOSTRACI ´ ON. Como B D A[.B A/, siendo esta uni´ on ajena, por el tercer
axioma tenemos que P.B/ D P.A/ C P.B A/.

c
Por ejemplo, suponga que A y B son eventos tales que A B, P.A / D 0:9 y
c
P.B / D 0:6. Deseamos calcular P.B A/. En esta situaci´ on es v´ alida la f´ ormula
P.B A/ D P.B/ P.A/, en donde, P.A/ D 0:1 y P.B/ D 0:4. Por lo tanto,
P.B A/ D 0:4 0:1 D 0:3. Observe que en este ejemplo sencillo no se especifica
el experimento aleatorio en cuesti´ on ni tampoco se definen los eventos A y B. El
tratamiento es anal´ ıtico y los resultados son v´ alidos para cualesquiera eventos A y B
con las caracter´ ısticas se˜ naladas.

PROPOSICI ´ ON 1.14. Para cualquier evento A, 0 P.A/ 1:
DEMOSTRACI ´ ON. Como A ˝, se tiene que P.A/ P.˝/ D 1. La otra
desigualdad, 0 P.A/, es simplemente el primer axioma.
PROPOSICI ´ ON 1.15. Para cualesquiera eventos A y B,

P.A [ B/ D P.A/ C P.B/ P.A \ B/:
DEMOSTRACI ´ ON. Primeramente observamos que para cualesquiera eventos A y
B se cumple la igualdad A B D A .A \ B/. Entonces escribimos a A [ B como
la uni´ on disjunta de los siguientes tres eventos:
A [ B D .A B/ [ .A \ B/ [ .B A/
D .A A \ B/ [ .A \ B/ [ .B A \ B/:
Ahora aplicamos la probabilidad. Por el tercer axioma,

P.A [ B/ D P.A A \ B/ C P.A \ B/ C P.B A \ B/:
Pero A \ B A, de modo que P.A A \ B/ D P.A/ P.A \ B/. An´ alogamente
P.B A \ B/ D P.B/ P.A \ B/. Por lo tanto,

P.A [ B/ D P.A/ C P.B/ P.A \ B/:

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