Page 22 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 12 — #16
i i

12 1. PROBABILIDAD

No es dif´ ıcil verificar que las definiciones anteriores de probabilidad satisfacen estos
tres axiomas. De hecho, estos postulados han sido tomados directamente del an´ alisis
cuidadoso y reflexivo de las definiciones de probabilidad mencionadas anteriormente.
Por ejemplo, considerando nuevamente la definici´ on de probabilidad frecuentista, se
realiza una sucesi´ on de n ensayos de un experimento aleatorio y se calcula el cociente
n.A/=n para un evento A cualquiera. Se observa claramente que el cociente n.A/=n
es no negativo, esto es el primer axioma. Si A es el evento total ˝, entonces n.˝/ D n
y por lo tanto n.˝/=n D 1, esto es el segundo axioma. Finalmente, si A y B son dos
eventos ajenos, se tiene que n.A [ B/ D n.A/ C n.B/ y por lo tanto
n.A [ B/ n.A/ n.B/
D C ;
n n n
de donde surge el tercer axioma. Observe adem´ as que este tercer axioma es v´ alido no
s´ olo para dos eventos ajenos sino para cualquier colecci´ on finita de eventos ajenos dos
a dos. A cualquier funci´ on P que satisfaga los tres axiomas de Kolmogorov se le llama
medida de probabilidad, o simplemente probabilidad. A partir de estos postulados es
posible demostrar que la probabilidad cumple con una serie de propiedades interesantes.
c
PROPOSICI ´ ON 1.10. Para cualquier evento A, P.A / D 1 P.A/.
c
DEMOSTRACI ´ ON. De la teor´ ıa elemental de conjuntos tenemos que ˝ D A [ A .
c
c
Como A y A son eventos ajenos, por el tercer axioma, P.˝/ D P.A/ C P.A /.
c
Finalmente, como P.˝/ D 1, por el segundo axioma obtenemos P.A / D 1
P.A/.
c
La proposici´ on reci´ en demostrada establece que los eventos A y A tienen pro-
babilidad complementaria, es decir, la suma de las probabilidades de estos eventos es
siempre uno. Esta propiedad es bastante ´ util pues en ocasiones es m´ as sencillo calcular
la probabilidad del complemento de un evento que del evento mismo. M´ as adelante
tendremos m´ ultiples ocasiones para aplicar este resultado.
PROPOSICI ´ ON 1.11. P.;/ D 0.
c
DEMOSTRACI ´ ON. Como ; D ˝ , usando la propiedad anterior, tenemos que
c
P.;/ D P.˝ / D 1 P.˝/ D 0.
Las siguientes dos proposiciones suponen la situaci´ on A B que se muestra
gr´ aficamente en la Figura 1.6.
PROPOSICI ´ ON 1.12. Si A B, entonces P.A/ P.B/.

DEMOSTRACI ´ ON. Primeramente escribimos B D A[.B A/. Como A y B A
son eventos ajenos, por el tercer axioma, P.B/ D P.A/ C P.B A/. Usando el
primer axioma concluimos que P.B/ P.A/ D P.B A/ 0. De aqu´ ı obtenemos
P.B/ P.A/ 0.

PROPOSICI ´ ON 1.13. Si A B, entonces P.B A/ D P.B/ P.A/.

i i

i i