Page 213 - cepe2012.pdf
P. 213
i i
“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 203 — #207
i i
B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 203
para el caso a < 0, tenga cuidado al dividir por tal cantidad. Los nuevos par´ ametros
son id´ enticos al caso anterior.
225. Sea Y D X. Entonces F Y .y/ D P.Y y/ D P. X y/ D P.X y/ D
1 P.X < y/ D 1 F X . y/. Derivando, f Y .y/ D f X . y/. Substituya ahora la
funci´ on de densidad de X evaluada en y y compruebe que se trata de la densidad
2
normal con media y varianza . p p p
226. Para x > 0, F X 2.x/ D P.X 2 x/ D P. x X x/ D F X . x/
p p 1 p 1
F X . x/. Derivando, f X 2 .x/ D f X . x/ p C f X . x/ p
p 1 2 x 2 x
D f X . x/ p . Ahora substituya la expresi´ on para f X .x/ y encuentre la funci´ on de
x
2
densidad de la distribuci´ on .1/.
227. Para y > 0, F Y .y/ D P.Y y/ D P.jXj y/ D P. y X y/ D F X .y/
F X . y/. Derivando, f Y .y/ D f X .y/ C f X . y/ D 2f X .y/. Ahora substituya la
funci´ on de densidad de X.
228. Usando la tabla de la distribuci´ on normal est´ andar se encuentra que c 0:25 D 0:501,
c 0:50 D 2, y c 0:75 D 3:498 .
229. Sea X el llenado de un vaso cualquiera. Suponga X N.320; 100/. Entonces
a) P.X > 310/ D P.Z > 1/ D 0:1587 .
b) P.290 < X < 305/ D P. 1 < Z < 1=2/ D 0:5328 .
c) P.X > 320/ D P.Z > 2/ D 0:0228 .
d) P.X < 270/ D P.Z < 3/ D 0:0013 . De mil clientes, 1.3 reclamar´ an por
vasos servidos con 270 ml. o menos.
Distribuci´ on ji cuadrada
230. a) La funci´ on es no negativa. Efect´ ue el cambio de variable t D x=2 dentro de la
integral. La integral resultante es la funci´ on gama evaluada en n=2.
b) En estos c´ alculos es conveniente hacer el cambio de variable t D x=2 en cada una
de las integrales. Para la esperanza, el exponente de t es n=2, que puede ser escrito
como .n=2/ C 1 1. Reconstruya la integral como la funci´ on gama evaluada en
.n=2/ C 1. Despu´ es simplifique usando la propiedad .n C 1/ D n .n/.
c) Calcule primero el segundo momento, el exponente de t es .n=2/ C 1, que puede
ser escrito como .n=2/ C 2 1. Ahora reconstruya la integral resultante como la
funci´ on gama evaluada en .n=2/ C 2. Despu´ es simplifique.
d) El c´ alculo del m-´ esimo momento sigue las mismas l´ ıneas del inciso anterior.
2
231. Simplemente substituya el valor n D 2 en la densidad .n/. Recuerde que .1/ D 1.
Distribuci´ on t
232. a) La funci´ on es no negativa. Para comprobar que esta funci´ on integra uno efect´ ue
2
el cambio de variable 1 u D .1 C x =n/ 1 y reconstruya la integral de
B.1=2; n=2/.
b) La integral E.X/ es absolutamente convergente para n > 1 y el integrando es una
funci´ on impar, por lo tanto la integral es cero.
c) Dado el resultado del inciso anterior, la varianza es el segundo momento. Efect´ ue
2
2
el cambio de variable 1 u D .1 C x =n/ 1 en la integral E.X /, y reconstruya
la integral de B.3=2; .n 2/=2/, despu´ es simplifique.
i i
i i
