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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 202 — #206
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202 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

Distribuci´ on normal
219. a) Este ejercicio no es f´ acil pero puede resolverse por varios m´ etodos. El siguiente
m´ etodo hace uso de coordenadas polares. Sea
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R 1 1 .x / =2 2 R 1 1 x =2
I D p e dx D p e dx. Entonces
1 2 2 1 2
2
2
2
I D . R 1 p 1 e x =2 dx/ . R 1 p 1 e y =2 dy/
1 2 1 2
2
2
2
R 1 R 1 1 .x Cy /=2 R 2 R 1 1 r =2
D e dx dy D e r dr d, en donde la
1 1 2 0 0 2
´ ultima integral se obtiene despu´ es del cambio de variable a coordenadas polares
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.x; y/ D .r cos ; r sen /. Entonces I D R 0 1 e r =2 r dr D 1.
2
R 1 1 .x / =2 2
b) E.X/ D x p e dx. Haciendo el cambio de variable u D
1
2 2
.x /= se encuentra que E.X/ D C E.Z/, en donde Z N.0; 1/. Por lo
tanto es suficiente demostrar que E.Z/ D 0, pero ello es f´ acil pues el integrando
2
R 1 1 u =2
de E.Z/ D 1 u p 2 e du es una derivada excepto por el signo. Por lo
tanto E.X/ D .
c) Para la varianza considere el segundo momento
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E.X / D R 1 x p 1 e .x / =2 2 dx. Efect´ ue nuevamente el cambio de
1 2 2
2
2
variable y D .x /= y encuentre que E.X / D C 2E.Z/
2
2
2
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2
C E.Z /. Resta encontrar E.Z / D R 1 y p 1 e y =2 dy. Esta integral
1 2
2
1 y =2
puede realizarse por partes con u D y y dv D y p e dy. El resultado es
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2
2
2
2
2
1. Por lo tanto E.X / D C , y entonces Var.X/ D . C / D .
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220. Suponga X N.; /. Sea Z D .X /=. Entonces F Z .u/ D P.Z u/ D
X
P. u/ D P.X Cu/ D F X .Cu/. Derivando respecto a u, f Z .u/ D

f X . C u/. Substituya la expresi´ on para f X .x/ y encuentre la densidad normal
est´ andar. El procedimiento es reversible. Suponga Z N.0; 1/. Sea X D C Z.
Entonces F X .x/ D P.X x/ D P. C Z x/ D P.Z .x /=/ D
F Z ..x /=/. Derivando respecto a x, f X .x/ D f Z ..x /=/=. Substituya la
2
expresi´ on de f Z .x/ y encuentre la densidad N.; /.
221. a) P.X 10/ D 1=2.
b) P.X < 0/ D P.Z < 2/ D 0:0228 .
c) P.0 < X 10/ D P. 2 < Z 0/ D 0:4772 .
d) P.X 20/ D P.Z 2/ D 0:0228 .
e) P. 20 < X 10/ D P. 6 < Z 0/ D 1=2.
222. a) P.X 10/ D P.Z 1/ D 0:8413 .
b) P.X > 0/ D 1=2.
c) P.0 < X 40/ D P.0 < Z 4/ D 1=2.
d) P.X 30/ D P.Z 3/ D 0:0013 .
e) P. 10 < X 10/ D P. 1 < Z 1/ D 0:6826 .
223. a) x D 1:115 . b) x D 1:375 .
224. Suponga a > 0. Entonces F Y .y/ D P.Y y/ D P.aX C b y/ D P.X
.y b/=a/ D F X ..y b/=a/. Derivando, f Y .y/ D f X ..y b/=a/=a. Substituya
2
ahora en esta expresi´ on la funci´ on de densidad N.; / y encuentre la funci´ on de
2 2
densidad normal ahora con media aCb y varianza a . Haga un an´ alisis semejante
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