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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 205 — #209
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 205
Estad´ ıstica descriptiva
242. Aplique las f´ ormulas respectivas.
x
243. a) Nu D 1 n P n iD1 u i D 1 n P n iD1 .ax i C b/ D 1 n .a P n iD1 i C nb/ D a Nx C b.
1
2
1
2
b) s .u 1 ; : : : ; u n / D n 1 P n .u i N u/ D n 1 P n iD1 .ax i C b .a Nx C b// 2
iD1
2 2
2
D 1 P n .a.x i N x// D a s .x 1 ; : : : ; x n /:
n 1 iD1
244. Aplique las f´ ormulas respectivas.
245. Si los datos se generan de acuerdo a la distribuci´ on uniforme sobre el intervalo
.0; 1/, entonces la media y mediana convergen a 1=2. La varianza debe converger
a 1=12 D 0:83, la desviaci´ on est´ andar a 0:2886751 y el rango debe converger a 1. El
conjunto de datos generado ser´ a multimodal y se acercar´ a al conjunto de todos los
posibles valores del intervalo unitario susceptibles de ser generados cuando se considere
que un valor pertenece al conjunto modal si su frecuencia dista de la frecuencia modal
observada real en menos de alg´ un > 0.
P n P n P n P n
246. a) iD1 .x i N x/ D iD1 i n Nx D iD1 i iD1 i D 0.
x
x
x
x
P n 2 P n 2 2 P n 2 P n 2
x
b) iD1 .x i N x/ D iD1 .x i 2x i NxC Nx / D iD1 i 2 Nx iD1 i Cn Nx D
P n 2 2 2 P n 2 2
x
x
iD1 i 2n Nx C n Nx D iD1 i n Nx .
2
c) Id´ entico al inciso anterior. Empiece desarrollando s .
247. Derive la funci´ on Nx.c/ respecto de la variable c, iguale a cero y encuentre que c D Nx.
Compruebe que la segunda derivada es negativa.
248. Calcule la mitad de cada intervalo como valor representativo. Suponga que ese valor
medio se observa tantas veces como indica la frecuencia en la tabla. Calcule ahora
las cantidades solicitadas a partir de este conjunto aproximado de observaciones. Para
elaborar el histograma tome como base cada intervalo y como altura la frecuencia.
249. Siga el procedimiento explicado en la soluci´ on anterior.
Vectores aleatorios
250. .X; Y / tiene distribuci´ on uniforme en el conjunto que consta de los doce elementos:
.1; 2/,.1; 3/, .1; 4/,.2; 1/,.2; 3/,.2; 4/,.3; 1/,.3; 2/,.3; 4/; .4; 1/,.4; 2/,.4; 3/. Tanto X
como Y tienen distribuci´ on uniforme en el conjunto f1; 2; 3; 4g.
251. a) Se trata de una funci´ on no negativa, cuyos valores suman uno.
b) La funci´ on de densidad marginal de X es f 1 .1/ D 0:8 y f 1 .2/ D 0:2. La de la
variable Y es f 2 . 1/ D 0:35 y f 2 .0/ D 0:65.
c) La funci´ on de distribuci´ on marginal de X es F 1 .x/ D 0 para 1 < x < 1,
F 1 .x/ D 0:8 para 1 x < 2, F 1 .x/ D 1 para x 2. An´ alogamente se construye
la funci´ on de distribuci´ on de Y .
d) No lo son pues por ejemplo P.X D 1; Y D 1/ D 0:3 que es distinto a
P.X D 1/P.Y D 1/ D 0:8 0:35 D 0:28.
252. a) Nuevamente se trata de una funci´ on no negativa, cuyos valores suman uno.
b) La funci´ on de densidad marginal de X es f 1 .1/ D 0:2 y f 1 .2/ D 0:8. La de la
variable Y es f 2 .0/ D 0:9 y f 2 .1/ D 0:1.
c) La funci´ on de distribuci´ on marginal de X es F 1 .x/ D 0 para 1 < x < 1,
F 1 .x/ D 0:2 para 1 x < 2, F 1 .x/ D 1 para x 2. An´ alogamente se construye
la funci´ on de distribuci´ on de Y .
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