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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 207 — #211
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 207

Muestras aleatorias y estad´ ısticas
262. X tiene distribuci´ on bin.3; p/. Por lo tanto, la media es 3p y la varianza es 3p.1 p/.
263. a) si. b) no. c) si. d) no. e) si. f) si.
2
264. La distribuci´ on es N.n; n /, de donde se obtienen la media y la varianza.
265. Aplicando la f´ ormula para el coeficiente de correlaci´ on muestral de la p´ agina 110 se
obtiene .fxg; fyg/ D 0:8545 . Esto significa que los datos muestran que existe una
buena dependencia lineal directa entre las calificaciones de una materia y la otra.

Estimaci´ on puntual
266. La esperanza es p y la varianza es p.1 p/=n.
O
O
2
267. a) E. 1 / D n=, Var. 1 / D n= .
2
O
O
b) E. 2 / D 1=, Var. 2 / D 1=.2 /.
O
2
O
c) E. 3 / D 1=, Var. 3 / D 1=.n /.
M´ etodo de momentos
268. El m´ etodo de momentos en este caso establece que Oa D 2 N X. Sin embargo, dado
que algunas de las observaciones pueden ser mayores a este valor, se propone como
estimador Oa D mKaxf2 N X; X .n/ g, en donde X .n/ es el m´ aximo de X 1 ; X 2 ; : : : ; X n .
p p
O
2
2
269. Oa D N X 3S y b D N X C 3S . Sin embargo, si alguna observaci´ on es mayor a b O
p
O
2
se toma b D mKaxf N X C 3S ; X .n/ g, en donde X .n/ es el m´ aximo de X 1 ; X 2 ; : : : ; X n .
¿C´ omo debe tomarse Oa de manera general?
q
O
2
270. a) Oa D Nx D 20:36 y b D 3 P n .x i N x/ D 1:48 .
n iD1
b) P.X > 21/ D 0:283 :
O
271. a) D 1= Nx D 1=17:83 D 0:056 .
O
b) E.X/ D 1= D 17:83 .
O
272. D N X.
2
2
273. a) O D 1 P n .x i N x/ D 0:1325, en donde Nx D 0:05 .
n iD1
b) P.jV j > 0:2/ D P.jZj > 0:2=0:364/ D 2.1 ˚.0:549// D 0:5824 .
274. La esperanza de X es cero, de modo que igualar el primer momento de la distribuci´ on
con el primer momento muestral no produce una ecuaci´ on para . Igualando el segundo
momento de la distribuci´ on, que es , con el segundo momento muestral lleva a la
2
O
estimaci´ on D 1 P n .x i N x/ D 4=7 .
n iD1
275. La esperanza de la densidad f .x/ es 1 C.1 / 2 . Al igualar este valor a la media
O
muestral Nx se obtiene el estimador D . Nx 2 /=. 1 2 /.
M´ etodo de m´ axima verosimilitud
276. La funci´ on de verosimilitud est´ a dada por L.p/ D p n Nx .1 p/ n.1 Nx/ . Tomando
logaritmo, derivando, e igualando a cero se encuentra que p D Nx.
O
277. D N X.
278. Op D n= N X.
279. Derivando el logaritmo de la funci´ on de verosimilitud e igualando a cero se encuentra
O
que D n= P n iD1 ln x i .
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