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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 201 — #205
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 201

R 1 x a 1 b 1 B.aC1;b/ R 1 1 a
b) E.X/ D x .1 x/ dx D x .1
0 B.a;b/ B.a;b/ 0 B.aC1;b/
x/ b 1 dx D B.aC1;b/ . Ahora se usa la identidad B.a C 1; b/ D a B.a; b/
B.a;b/ aCb
para obtener E.X/ D a=.a C b/.
2
c) E.X / D R 1 x 2 x a 1 .1 x/ b 1 dx D B.aC2;b/ R 1 1 x aC1
0 B.a;b/ B.a;b/ 0 B.aC2;b/
.1 x/ b 1 dx D B.aC2;b/ . En donde B.a C 2; b/ D aC1 B.a C 1; b/
B.a;b/ aCbC1
2
D aC1 a B.a; b/. Por lo tanto E.X /D aC1 a , y entonces Var.X/D
aCbC1 aCb aCbC1 aCb
aC1 a a 2 ab
aCbC1 aCb .aCb/ 2 D .aCbC1/.aCb/ 2 .
211. a) Efect´ ue el cambio de variable y D 1 x.
R 1 a 1
b) B.a; 1/ D 0 ax dx D 1=a.
R 1 b 1
c) B.1; b/ D a.1 x/ dx D 1=b.
0
R 1 a b 1 a
d) B.a C 1; b/ D x .1 x/ dx. Use integraci´ on por partes con u D x
0
b
y dv D .1 x/ b 1 dx para llegar a B.a C 1; b/ D a R 0 1 x a 1 .1 x/ dx D
b
a B.a; b C 1/.
b
e) Puede usarse la identidad B.a; b/D .a/ .b/= .a C b/. B.a C 1; b/D .a C
1/ .b/= .a C b C 1/ D a .a/ .b/= .a C b/ D a B.a; b/.
aCb aCb
f) Por el inciso anterior, B.a; b C 1/ D B.b C 1; a/ D b B.b; a/ D b B.a; b/.
aCb aCb
2
g) Efect´ ue el cambio de variable x D cos .
212. Simplemente substituya esos valores para los par´ ametros a y b en la distribuci´ on
beta.a; b/. Recuerde que B.1; 1/ D 1.
p
213. a) f .x/ D 1=. x.1 x/, para 0 < x < 1.
2
b) Efect´ ue el cambio de variable x D cos .
c) E.X/ D B.1 C 1=2; 1=2/=B.1=2; 1=2/ D .1=2/=.1=2 C 1=2/ D 1=2. Para la
2
varianza use E.X / D B.2 C 1=2; 1=2/=B.1=2; 1=2/.
214. a) Compruebe que B.a; 1/ D 1=a. Por lo tanto,
R x a 1 a
F.x/ D . u du/=B.a; 1/ D x , para x 2 .0; 1/.
0
b) Compruebe que B.1; b/ D 1=b. Por lo tanto,
R x b 1 b
F.x/ D . 0 .1 u/ du/=B.1; b/ D 1 .1 x/ , para x 2 .0; 1/.
n
n
215. E.X / D . R 1 x x a 1 .1 x/ b 1 dx/=B.a; b/ D B.a C n; b/=B.a; b/.
0
Distribuci´ on Weibull
216. La funci´ on es claramente no negativa, por lo que ´ unicamente hace falta verificar que
integra uno sobre el eje real. Haciendo el cambio de variable indicado tenemos que
Z 1 Z 1 ˇ 1
0
f .x/ dx D e u.x/ u .x/ dx D e u.x/ ˇ ˇ D 1:
1 0 0
217. Haciendo el cambio de variable indicado, para valores positivos de x,
Z x ˇ x ˛
0
F.x/ D e u.t/ u .t/ dt D e u.t/ ˇ ˇ D 1 e u.x/ D 1 e .x/ :
0 0
p
218. P.X > 5/ D 1 F.5/ D e 5 D 0:10697 . Se espera que el componente funcione
bien en promedio E.X/ D 2 a˜ nos.
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