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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 208 — #212
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208 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

280. En este caso el m´ aximo de la funci´ on de verosimilitud no existe. Ninguno de los
valores observados x 1 ; x 2 ; : : : ; x n puede ser mayor a b, ni menor a a. Es por ello que
se propone a D mKın fx i g y b D mKax fx i g.
281. El par´ ametro n es un n´ umero entero positivo que no puede ser menor a ninguna de
las observaciones x 1 ; x 2 ; : : : ; x m . Es por ello que se toma n D mKax fx 1 ; x 2 ; : : : ; x m g.
Conociendo entonces n se calcula la funci´ on de verosimilitud como funci´ on de p, se
toma logaritmo, se deriva, se iguala a cero y se encuentra que p D Nx=n en donde
N x D .x 1 C x 2 C C x m /=m.
282. Derivando el logaritmo de la funci´ on de verosimilitud respecto de e igualando a cero
˛ 1=˛
O
se encuentra que D .n= P n x / .
iD1 i
283. a) El procedimiento de derivar e igualar a cero no funciona pues la funci´ on de vero-
similitud crece conforme el par´ ametro a crece. Las observaciones x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4
deben ser todas mayor o igual a a, as´ ı, el valor m´ aximo que podemos tomar para
a es Oa D mKınfx 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 g D 9:3 a˜ nos.
b) E.X/ D 3Oa=2 D 13:95 a˜ nos.
284. Derivando el logaritmo de la funci´ on de verosimilitud respecto de e igualando a cero
O
se encuentra que D n= Nx, en donde Nx D .x 1 C C x m /=m.
R 2 2 ˇ
285. a) La funci´ on es no negativa y 2x= dx D .x = / D 1.
2 ˇ
0 0
b) La funci´ on de verosimilitud crece sin l´ ımite conforme el par´ ametro se acerca a
cero. Por otro lado, todas las observaciones deben ser menores a , as´ ı, el valor
O
m´ as peque˜ no que podemos tomar para es D mKaxf1:7; 1:5; 3; 2:1; 2:5g D 3.
c) E.X/ D 2.
ˇ 1
R 1 .x /
286. a) f .x/ 0 y e dx D e .x / ˇ D 1 .
ˇ

N
b) La funci´ on de verosimilitud es L./ D e n. X/ , la cual crece conforme crece.
As´ ı, conviene tomar el valor m´ as grande para pero de tal forma que sea siempre
menor o igual a cada una de las observaciones, es decir, X 1 ; X 2 ; : : : ; X n .
O
Esto lleva a tomar D mKınfX 1 ; X 2 ; : : : ; X n g.
O
c) D 5 .
O
d) E.X/ D C 1 D 6 .
Insesgamiento
O
O
O
O
O
287. a) E./ D E.a 1 C .1 a/ 2 / D aE. 1 / C .1 a/E. 2 / D a C .1 a/ D .
b) a C b D 1.
288. a) no. b) si. c) no.
n n n
1 X 1 X 1 X
2 2 2 2
289. a) E.O / D E.X i / D Var.X i / D D .
n n n
iD1 iD1 iD1
b) Siga la sugerencia del Ejemplo 2.39 en la p´ agina 118.
n 1
1 X 2
2
c) E.O / D E.X iC1 X i /
2.n 1/
iD1
n 1
1 X 2 2
D .E.X iC1 / 2E.X iC1 /E.X i / C E.X //
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2.n 1/
iD1
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