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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 206 — #210
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206 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

d) No lo son pues por ejemplo P.X D 1; Y D 1/ D 0 que es distinto a P.X D 1/
P.Y D 1/ D 0:2 0:1 D 0:02.
253. a) Tal funci´ on toma el valor 1=4 sobre el cuadrado . 1; 1/. 1; 1/ y vale cero fuera
de ´ el. Por lo tanto se trata de una funci´ on no negativa que integra uno.
b) Las funciones de densidad marginales coinciden en la funci´ on f 1 .x/ D 1=2 para
x en . 1; 1/, con valor nulo fuera de este intervalo.
c) Las funciones de distribuci´ on marginales son por tanto coincidentes y son F 1 .x/ D
0 para 1 < x < 1, F 1 .x/ D .x C 1/=2 para 1 x < 1, F 1 .x/ D 1 para
x 1.
d) Estas variables aleatorias son independientes pues se cumple la identidad f .x; y/D
f 1 .x/f 2 .y/, para cualquier valor de x y y.
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254. a) La funci´ on es no negativa y puede comprobarse que integra uno sobre R .
b) La distribuci´ on marginal de esta variable es exp./ con D 1.
c) Id´ entico al inciso anterior.
d) Las variables son independientes pues se cumple la identidad
f .x; y/ D f 1 .x/f 2 .y/ ;

para cualquier valor de x y y.

Covarianza

255. .X E.X//.Y E.Y // D XY XE.Y / YE.X/ C E.X/E.Y /. Ahora aplique
esperanza y simplifique, recuerde que E.X/ y E.Y / son constantes.
256. a) Cov.cX; Y /DEŒ.cX E.cX//.Y E.Y //DEŒc.X E.X//.Y E.Y //D
c Cov.X; Y /.
b) .X 1 C X 2 E.X 1 C X 2 // D .X 1 C X 2 E.X 1 / E.X 2 // D ŒX 1 E.X 1 / C
ŒX 2 E.X 2 /. Introduzca este c´ alculo en la definici´ on para Cov.X 1 C X 2 ; Y / y
simplifique.
257. E.X/ D E.Y / D 0. Compruebe adem´ as que E.XY / D 1=2.
2
258. E.X/ D E.Y / D 2=3, E.XY / D .2=3/ . O bien observe que X y Y son indepen-
dientes.

Coeficiente de correlaci´ on
259. Puede comprobarse que las variables son independientes y ello es raz´ on suficiente para
que el coeficiente de correlaci´ on se anule.
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260. a) Cov.X; Y / D E.XY / E.X/E.Y / D E.X / E.X/E.X /. El primer y tercer
momento se anulan, de modo que la covarianza es cero.
b) X y Y no son independientes pues, por ejemplo, P.X D 0; Y D 0/ ¤ P.X D
0/P.Y D 0/.
261. Se hace uso de la propiedad que establece que la esperanza del producto de dos
variables aleatorias es el producto de las esperanzas:
a) Cov.X 1 ; X 1 C CX n / D E.X 1 .X 1 C CX n // E.X 1 /E.X 1 C CX n / D
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p C .n 1/p np D p.1 p/.
2
2
p p
b) .X 1 ; X 1 C C X n / D p.1 p/= np .1 p/ D 1= n.

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