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66 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

67. Suponga que Z tiene una distribuci´on gama γ, α .Demuestre que
si 2γ es un n´umero entero natural, entonces 2αZ tiene una distribu-
2
ci´on χ 2γ .

68. Suponga que un riesgo S sigue un modelo colectivo Poisson de
par´ametro λ 10 y las reclamaciones tienes la funci´on de pro-
babilidad que aparece en la siguiente tabla:

r 1 2 3 4 5
1/8 1/4 1/4 1/4 1/8
f r

a) Use la f´ormula de Panjer para encontrar la funci´on de proba-
bilidad exacta de S.
b) Calcule la aproximaci´on gama trasladada para S.

c) Con ayuda de un paquete computacional grafique la funci´on
de probabilidad exacta de S y la densidad aproximante.

Aproximaci´on de Edgeworth

69. Demuestre que la aproximaci´on de Edgeworth para un riesgo con
2
distribuci´on normal con media m y varianza σ produce esta misma
distribuci´on con los mismos par´ametros. Recuerde que si Z tiene
una distribuci´on normal est´andar, entonces los momentos impares
de esta variable aleatoria se anulan y para cualquie n´umero natural
n,
2n !
E Z 2n .
n
2 n!
70. Suponga que S tiene una distribuci´on Poisson compuesta de par´a-
metro λ 0 y que se desea usar la aproximaci´on de Edgeworth
para S.Demuestreque

d k k 2
a k ln M Z r λµ k λµ 2 , para k 2, 3, 4.
dr k
r 0