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2.5. Ejercicios 63

53. F´ormula recursiva para los momentos de S. Use la f´ormula de Pan-
jer y la misma notaci´on e hip´otesis de dicho resultado para de-
mostrar que para a 1 y para n 1,

n 1
1 n n 1
i
E S n a b E S E Y n i .
1 a i i
i 0
54. F´ormula recursiva para la funci´on de distribuci´on de S en un caso
particular. En general es dif´ıcil encontrar una expresi´on recursiva
para la funci´on de distribuci´on F x de un riesgo S en el modelo
colectivo. Sin embargo, para el siguiente caso particular es posi-
ble encontrar dicha relaci´on: usando la notaci´on e hip´otesis de la
f´ormula de Panjer y en el caso cuando N tiene una funci´on de pro-
k
babilidad geo p ,es decir, p k P N k 1 p p, para k 0,
demuestre que para x 1,
x
F x p 1 p f j F x j .
j 1

55. Suponga que un riesgo S sigue un modelo colectivo en donde N
tiene una distribuci´on Poisson de par´ametro λ 2 y el monto de
las reclamaciones tiene la funci´on de probabilidad que aparece en la
tabla de abajo. Use la f´ormula de Panjer para encontrar la funci´on
de probabilidad de S.

r 1 2

f r 1/2 1/2

56. Suponga que un riesgo S sigue un modelo colectivo en donde N tiene
una distribuci´on geom´etrica de par´ametro p 1 2, y el monto de
las reclamaciones tiene la funci´on de probabilidad que aparece en la
tabla de abajo. Use la f´ormula de Panjer para encontrar la funci´on
de probabilidad de S.

r 1 2
1/2 1/2
f r