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2.5. Ejercicios 65

a) Suponga λ 30. Use la f´ormula de Panjer para encontrar la
funci´on de probabilidad de S.
b) Calcule la aproximaci´on normal para S.

c) Con ayuda de un paquete computacional grafique la funci´on
de probabilidad de S y la densidad normal aproximante.

d) Suponga ahora λ 60 y repita los incisos anteriores. ¿Mejor´o la
aproximaci´on?

Aproximaci´on gama trasladada

62. Sea S un riesgo con distribuci´on gama γ, α .Demuestre que:

3
a) E S γ α 3 2γ α .
b) la aproximaci´on gama trasladada para S es exacta.

63. Compruebe que la aproximaci´on gama trasladada para un riesgo
con distribuci´on exponencial es exacta.

64. Durante la derivaci´on de la aproximaci´on gama trasladada se usa
el hecho de que la variable aleatoria k Z, en donde Z tiene
una distribuci´on gama γ, α , tiene media, varianza y coeficiente de
2
asimetr´ıa k γ α, γ α y2 γ respectivamente. Demuestre estas
f´ormulas.

65. Durante la derivaci´on de la aproximaci´on gama trasladada se llega
2
al sistema de ecuaciones k γ α m, γ α 2 σ y2 γ α 3 ,en
donde k, γ y α son las inc´ognitas. Demuestre que la soluci´on a este
2
sistema es efectivamente k m 2σ α 3 , γ 4 α y α 2 σα 3 .
3
66. Encuentre una expresi´on para la aproximaci´on gama trasladada
cuando el riesgo sigue una distribuci´on:

a) Poisson compuesta.
b) binomial compuesta.

c) binomial negativa compuesta.