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2.5. Ejercicios 61

2.5. Ejercicios

Distribuciones de la clase a, b, 0

48. Las cuatro distribuciones de la clase a, b, 0 . Sea p k : k 0 una
distribuci´on de probabilidad en la clase a, b, 0 , es decir, se trata
de una distribuci´on discreta con soporte el conjunto 0, 1,... y tal
a b k p k 1 para k 1, en donde
que cumple la relaci´on p k
a y b son dos constantes. Observe que tomando el caso particular
cuando k 1, se llega a la conclusi´on de que las constantes deben
satisfacer la desigualdad a b 0.

a) Demuestre que en el caso a b 0, la distribuci´on se concentra
en cero, es decir, p 0 1.
b) Demuestre que si a b 0y a 0 entonces p k : k 0 es la
distribuci´on Poisson λ con λ b 0.
c) Demuestre que si a b 0y a 0 entonces para cualquier
k 1,

a k b b b b
p k k k 1 2 1 p 0 . (2.6)
k! a a a a
Defina r 1 b a e incorpore este valor en (2.6). Concluya
que p k : k 0 es la distribuci´on bin neg r, p con p 1 a.
d) Observe que si a b 0y a 0, y si la relaci´on iterativa es
v´alida para cualquier k 1 como hemos supuesto, entonces
necesariamente los valores de las constantes a y b deben ser
tales que exista un entero n 1 tal que

b b
a 0 y a 0.
n n 1

Y por lo tanto se debe tener que p k 0 para k n 1,n 2,...
De la igualdad anterior obtenga n b a 1. Compruebe
la validez de la ecuaci´on (2.6) para 0 k n e incorpore
all´ı el valor de n. Concluya que p k : k 0 es la distribuci´on
binomial n, p con p a a 1 .