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62 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

49. Funci´on generadora de probabilidad de una distribuci´on enla clase
a, b, 0 . Sea N una variable aleatoria con distribuci´on de probabi-
lidad en la clase a, b, 0 .

a) Demuestre que la correspondiente funci´on generadora de pro-
babilidad P N t E t N satisface la ecuaci´on diferencial

1 at P N t a b P N t . (2.7)

b) Demuestre que la soluci´on a la ecuaci´on (2.7) con condici´on
inicial P N 1 1 y para a 0, 1 es

1 at a b a
P N t .
1 a

c) En particular, demuestre que

i) P N 0 1 a a b a para a 0.
b
ii) l´ım P N 0 e .
a 0
50. F´ormula para la esperanza de una distribuci´on en la clase a, b, 0 .
Sea N una variable aleatoria con distribuci´on de probabilidad en
la clase a, b, 0 . A partir de la definici´on elemental de esperanza, o
bien, usando la f´ormula (2.7) del ejercicio anterior, demuestre que
para a 1,
a b
E N .
1 a

F´ormula de Panjer

51. Compruebe que la f´ormula recursiva de Panjer efectivamente pro-
duce una funci´on de probabilidad.

52. A partir de la f´ormula recursiva de Panjer compruebe nuevamente
que
E S E N E Y .