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52 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

Proposici´on 2.3 Para cualquier x 0,

P S x ρ P S x P S x ρ .

Demostraci´on. Por (2.2) se cumple la contenci´on de eventos

S x ρS x ,
entonces se tiene que P S x P ρS x y por lo tanto,

P S x P S x ρ .
Para la segunda desigualdad, se observa la contenci´on de los eventos

ρS x S x ,
y se procede de manera an´aloga. !

Esto provee de cotas superior e inferior, calculadas usando la f´ormula de
Panjer, para la funci´on de distribuci´on del riesgo. Conforme m´as peque˜na
sea la unidad monetaria ρ mejor es la aproximaci´on. Debe observarse, sin
embargo, que surge una dificultad t´ecnica para aquellas reclamaciones Y j
con valores en 0, ρ , pues estas reclamaciones llevan a la definici´on Y j 0,
lo cual no es un caso contemplado en el esquema de la f´ormula de Panjer. En
una situaci´on real, el monto de las reclamaciones es grande comparado con el
valor del par´ametro ρ, de modo que la probabilidad de que una reclamaci´on
tome un valor entre 0 y ρ es realmente muy peque˜na. Existe tambi´en un
caso particular simple que es cuando ρ 1, es decir, se aproximan las
reclamaciones mediante valores enteros.
Ejemplo 2.2 (Aproximaci´on con reclamaciones enteras) Para cada
valor de una reclamaci´on Y j existe un entero n 0 tal que n Y j n 1,
y por lo tanto,
Y j n, y Y j n 1.
Entonces se tienen nuevamente las relaciones S S S yen consecuencia
para cualquier x 0,
P S x P S x P S x ,