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56 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

cuya soluci´on es

2σ 4 2
k m , γ 2 , α .
α 3 α σα 3
3
De esta forma se tiene la siguiente aproximaci´on.

Proposici´on 2.5 (Aproximaci´on gama trasladada) La distribuci´on
del riesgo S en el modelo colectivo puede aproximarse mediante la dis-
tribuci´on de la variable aleatoria
2σ
m Z,
α 3
4 2
en donde Z se distribuye gama , .
α 2 3 σα 3

Pueden sustituirse las expresiones generales para la media, varianza y coefi-
ciente de asimetr´ıa de un riesgo que sigue el modelo colectivo para obtener
f´ormulas un poco m´as particulares de esta aproximaci´on. Debe hacerse no-
tar que la aproximaci´on gama es en esencia la aplicaci´on del m´etodo de mo-
mentos para la estimaci´on de par´ametros y naturalmente el m´etodo puede
aplicarse a cualquiera otra distribuci´on de probabilidad conocida que tenga
alguna semejanza o parecido con la distribuci´on del riesgo en estudio.

2.4. Aproximaci´on de Edgeworth

Considere un cierto riesgo S modelado mediante una variable aleatoria con
2
esperanza m, varianza σ y tal que su funci´on generadora de momentos
existe. Defina la variable Z S m σ, cuya esperanza es cero y varianza
es 1. Sea M Z r la funci´on generadora de momentos de Z. La serie de Taylor
de la funci´on ln M Z r alrededor de cero es

a 2 2 a 3 3 a 4 4
ln M Z r a 0 a 1 r r r r ,
2! 3! 4!