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54 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

Proposici´on 2.4 (Aproximaci´on normal) Sea S es una riesgo con me-
2
dia m y varianza finita σ .Paracualquier x 0,
1 x m
f S x φ . (2.3)
σ σ

Esta aproximaci´on hace uso ´unicamente de la media y la varianza del riesgo,
y en general no es una buena aproximaci´on a menos que la densidad del
riesgo presente la forma de campana o bien el n´umero de reclamaciones tenga
una distribuci´on tal que sea razonable aplicar el teorema central del l´ımite,
esto es, cuando la distribuci´on de probabilidad se concentre en un conjunto
de valores grandes de la variable aleatoria. Por ejemplo, dada cualquier ϵ 0
suficientemente peque˜na, la aproximaci´on podr´ıa ser buena si los par´ametros
de la distribuci´on de N son tales que

P N 30 1 ϵ.

Se puede particularizar la aproximaci´on normal cuando la distribuci´on de
N es conocida, por ejemplo, cuando el n´umero de reclamaciones N sigue
una distribuci´on Poisson con par´ametro λ, la aproximaci´on (2.3) adquiere
la expresi´on
1 x λµ
f S x φ .
λµ 2 λµ 2
Otro caso particular se obtiene cuando N es bin n, p , entonces la expresi´on
(2.3) se reduce a la f´ormula siguiente

x npµ
P S x Φ .
2
np µ 2 µ p
En el caso cuando N es bin neg r, p se tiene que (2.3) es

x r 1 p µ p
P S x Φ .
2
r 1 p µ 2 p 1 p µ p 2