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2.4. Aproximaci´ on de Edgeworth 57

d k
en donde los coeficientes son a k ln M Z r . Calculando las derivadas
dr k r 0
y evaluando en cero se encuentra que los primeros cinco coeficientes son:

a 0 0,
a 1 E Z 0,
a 2 E Z 2 1,
3
a 3 E Z ,
a 4 E Z 4 3,
. . .

La aproximaci´on de Edgeworth consiste en truncar la serie de Taylor de
la funci´on ln M Z r hasta alg´un t´ermino adecuado. Por ejemplo, la aproxi-
maci´on hasta la cuarta potencia de r es

1 a 3 3 a 4 4
ln M Z r r 2 r r .
2! 3! 4!

Entonces

1 a 3 3 a 4 4
M Z r exp r 2 r r
2! 3! 4!
2
r .
r
e r 2 exp a 3 3 a 4 4
6 24
2
3
Ahora se usa la serie e x 1 x x 2! x 3! en el segundo factor
y se obtiene la aproximaci´on

2
r
r
r
M Z r e r 2 1 a 3 3 a 4 4 a 2 3 6
6 24 72 3
2
2
2
2
r e
e r 2 a 3 3 r 2 a 4 4 r 2 a 3 6 r 2 . (2.4)
r e
r e
6 24 72
El siguiente paso es invertir cada t´ermino de esta ecuaci´on encontrando
una distribuci´on aproximada para Z. El resultado que utilizaremos es el
siguiente.