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2.3. Aproximaci´ on gama trasladada 55

2.3. Aproximaci´on gama trasladada

En algunos casos el histograma creado a partir de las observaciones hist´ori-
cas de un riesgo puede presentar un aspecto semejante a la forma de la
distribuci´on gama. Esta semejanza sugiere aproximar la distribuci´on del
riesgo S por la distribuci´on de la variable aleatoria

k Z,

en donde k es una constante y Z es una variable aleatoria con distribuci´on
gama γ, α . En los ejemplos concretos que hemos presentado en donde se
ha calculado la distribuci´on exacta del riesgo, usando la f´ormula de De Pril
o la f´ormula de Panjer, puede constatarse que la distribuci´on de algunos
riesgos tienen alg´un parecido con la distribuci´on gama. Es por ello que se
propone este m´etodo de aproximaci´on. Para llevar a cabo este procedimiento
se deben escoger adecuadamente valores para los tres par´ametros k, γ y α,
que determinan la distribuci´on de k Z. Supongamos entonces conocidas o
estimadas las siguientes cantidades:

a) E S m.

2
b) Var S σ .
E S E S 3
c) α 3 .
Var S 3 2
La correspondiente media, varianza y coeficiente de asimetr´ıa (de Fisher)
de la variable aleatoria aproximante k Z son:

a) E k Z k γ α.
2
b) Var k Z γ α .
E k Z E k Z 3
c) 2 γ.
Var k Z 3 2
La idea es hacer que las distribuciones de S y k Z coincidan en el sen-
tido de que las tres cantidades mencionadas sean las mismas para las dos
distribuciones. Haciendo coincidir estas cantidades se obtiene el sistema de
ecuaciones
γ γ 2
2
k m, σ , α 3 ,
α α 2 γ