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46 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

Proposici´on 2.1 Sea N una variable aleatoria discreta con valores en

0, 1,... ysea p k P N k para k 0, 1,... Sean a y b dos cons-
tante. Entonces la igualdad
b
p k a p k 1 , k 1, (2.1)
k
se cumple cuando
1. N es bin n, p ,con a p 1 p y b n 1 p 1 p .

2. N es Poisson λ ,con a 0 y b λ.

3. N es bin neg r, p ,con a 1 p y b r 1 1 p .

La demostraci´on de este resultado es inmediata despu´es de realizar algunos
c´alculos algebraicos sencillos y se dejan como ejercicio allector.

Toda distribuci´on de probabilidad con soporte en 0, 1,... que cumple la
identidad (2.1) se le llama distribuci´on de clase a, b, 0 , los t´erminos a y
b se refieren a las constantes del mismo nombre que aparecen en la f´ormu-
la (2.1) y el cero se refiere a que la probabilidad de inicio de la f´ormula
recursiva es aquella que tiene sub´ındice cero, es decir, p 0 .Observe quela
identidad (2.1) es muy atractiva, pues permite generar la distribuci´on de
probabilidad de estas variables aleatorias discretas de una forma recursi-
va: se calcula primero p 0 , a partir de ella se obtiene p 1 , a partir de p 1 se
obtiene p 2 , y as´ı sucesivamente. Supondremos entonces que la distribuci´on
del n´umero de reclamaciones cumple con la condici´on (2.1) y la proposici´on
establece que tal condici´on es v´alida para las tres distribuciones se˜naladas.
En el ejercicio 48 en la p´agina 61 se pide demostrar el resultado rec´ıproco
de la proposici´on anterior, es decir, que las ´unicas distribuciones discretas
de probabilidad no degeneradas que cumplen (2.1) son las tres mencionadas.

Recordando la notaci´on e hip´otesis del modelo colectivo de riesgo S
N Y j , definido en el cap´ıtulo anterior, tenemos las siguientes hip´otesis
j 1
y notaci´on adicionales: supondremos que las reclamaciones Y j son tales que