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138 6. Procesos estoc´ asticos

0y elsubvector
π π 1 , π 2 ,... , π k

denota entonces el vector inicial cuyas entradas son las probabilidades ini-
ciales de los estados no absorbentes. Cuando π 0 0 el vector π es efec-
tivamente una distribuci´on de probabilidad. Cuando π 0 0, se tiene que
P τ 0 π 0 0. Puesto que, partiendo de un estado no absorbente,
es posible hacer varias transiciones entre los estados no absorbentes antes
de la absorci´on, en las f´ormulas relacionadas con esta distribuci´on tipo fase
aparece el subvector π y no el vector completo π .

Definici´on 6.7 Aladistribuci´on de probabilidad de lavariable aleatoria τ
definida por
τ m´ın n 0 X n 0

se le llama distribuci´on tipo fase discreta con subdistribuci´on inicial π y
submatriz de transici´on B.Esto se escribe

τ PH π,B .

La notaci´on PH para la distribuci´on del tiempo de absorci´on proviene de
las primeras letras del t´ermino en ingl´es phase. En general no parece f´acil
encontrar la distribuci´on de probabilidad del tiempo de absorci´on τ,sin
embargo, como veremos m´as adelante, existen f´ormulas matriciales sorpren-
dentemente cortas para ciertas caracter´ısticas de τ que facilitan el c´alculo
de probabilidades con este tipo de distribuciones. Antes de mencionar estas
f´ormulas veamos el ejemplo m´as sencillo de distribuci´on discreta tipo fase.

Ejemplo 6.1 (Distribuci´on geom´etrica) Considere la cadena de Markov
X n : n 0 con dos estados: un estado absorbente 0 yun estado noab-
sorbente 1.La matriz de probabilidades de transici´on en un paso es

1 0
P .
p 1 p

Suponga que la cadena empieza en el estado 1. No es dif´ıcil comprobar que