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6.3. Caminatas aleatorias 133

X n ω

n

Figura 6.3

Una posible trayectoria de este proceso se muestra en la Figura 6.3 y es uno
de los mejores ejemplos para entender el car´acter aleatorio en la din´amica de
un proceso estoc´astico a lo largo del tiempo. La independencia de las varia-
bles aleatorias ξ 1 , ξ 2 ,... tiene como consecuencia que la caminata aleatoria
simple cumpla la propiedad de Markov y que sea un proceso estoc´astico
con incrementos independientes y estacionarios. En t´erminos generales el
objetivo es estudiar el comportamiento de la v.a. X n al paso del tiempo.
Uno de los elementos fundamentales para estudiar a las caminatas aleatorias
est´a dado por las probabilidades de transici´on. Para cualesquiera enteros i
y j, las probabilidades de transici´on en un paso de la caminata aleatoria
simple son:

p si j i 1,
P X n 1 j X n i q si j i 1,
0 otro caso.

Como estas probabilidades no dependen de n, se dice que son homog´eneas en
el tiempo, es decir, son las mismas para cualquier valor de n. Pueden consi-
derarse tambi´en caminatas aleatorias que inician en cualquier valor entero o
que permiten saltar de un estado en s´ı mismo al siguiente instante (es decir,
no cambiar de estado), o bien, que los saltos no sean unitarios ni los tiempos
en los que efect´uan los saltos sean necesariamente tiempos enteros, e incluso
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pueden definirse caminatas en dimensiones mayores, por ejemplo, en Z .Las
caminatas aleatorias son procesos que pueden representar versiones discre-