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140 6. Procesos estoc´ asticos

La suma sobre i y sobre j no absorbentes de estas probabilidades se
n T
puede escribir como π B e . Por lo tanto,
π 0 si n 0,
F n
n T
1 π B e si n 1.

6.5. Proceso de Poisson

En esta secci´on recordaremos la definici´on y algunos aspectos elementales
de uno de los procesos estoc´asticos de mayor importancia: el proceso de
Poisson.

Definici´on 6.8 Un proceso estoc´astico de tiempo continuo N t : t 0 con
espacio de estados el conjunto discreto 0, 1,... es un proceso de Poisson
de par´ametro o intensidad λ 0 si cumple las siguientes propiedades:

a) N 0 0.
b) Tiene incrementos independientes.

c) La variable incremento N t s N s tiene distribuci´on Poisson λt ,para
cualesquiera s 0, t 0.

Observe que la tercera propiedad establece impl´ıcitamente que los incre-
mentos del proceso de Poisson son estacionarios, pues la distribuci´on de
N t s N s no depende de s. El proceso de Poisson se utiliza para modelar
situaciones de conteo de ocurrencias de un evento particular en un intervalo
de tiempo dado. Por ejemplo, N t puede representar el n´umero de llamadas
recibidas en un n´umero telef´onico de emergencias, o el n´umero de accidentes
ocurridos en un cierto lugar o el n´umero de clientes que buscan un servicio
durante el intervalo de tiempo 0,t . En particular, tomando s 0enlater-
cera propiedad en la definici´on, se tiene que la variable N t tiene distribuci´on
Poisson λt para cualquier t 0. Esto es

λt n
λt
P N t n e , n 0, 1, 2,...
n!