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6.6. Cadenas de Markov a tiempo continuo 143

Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado.

Proposici´on 6.2 Si N t : t 0 es un proceso de Poisson de par´ametro
λ,entonces para cualquier s 0,elproceso dado por M t N t s N s es
nuevamente un proceso de Poisson con el mismo par´ametro.

Observemos que la propiedad de renovaci´on se cumple tambi´en en los mo-
mentos en los que el proceso de Poisson tiene saltos, es decir, si empezamos
a estudiar al proceso a partir del momento en el que se observa un salto, ese
nuevo proceso es tambi´en un proceso de Poisson con el mismo par´ametro.
Desde el punto de vista matem´atico esta propiedad ser´a de mucha utili-
dad cuando estudiemos modelos en donde las reclamaciones que reciba una
aseguradora sigan un proceso de Poisson.
Otras definiciones equivalentes del proceso de Poisson y algunos otros re-
sultados sobre sus propiedades se pueden encontrar en [31].

6.6. Cadenas de Markov a tiempo continuo

Este tipo de procesos es una generalizaci´on del proceso de Poisson menciona-
do en la secci´on anterior. Ahora los saltos del proceso no son necesariamente
unitarios hacia arriba sino que el proceso puede saltar a cualquier otro es-
tado distinto del estado desde donde salta. Una trayectoria de este tipo de
procesos se muestra en la Figura 6.6.
Vamos entonces a definir cadenas de Markov en donde el tiempo es continuo
y las variables toman valores enteros. Consideremos un proceso a tiempo
continuo X t : t 0 que inicia en un estado i 1 al tiempo cero. El proceso
, y despu´es salta a un nuevo
permanece en ese estado un tiempo aleatorio T i 1
estado i 2 distinto del anterior. El sistema permanece ahora en el estado i 2
al cabo del cual brinca a otro estado i 3 distinto del
un tiempo aleatorio T i 2
inmediato anterior, y as´ı sucesivamente. Los tiempos aleatorios T son los
tiempos en los que el proceso permanece constante en alguno de sus estados,
y se llaman tiempos de estancia (passage times). Los momentos en donde
el proceso tiene saltos son los tiempos W n T i 1 T i n , para n 1. El