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142 6. Procesos estoc´ asticos

Proposici´on 6.1 La propiedad de Markov del proceso de Poisson impli-
ca que los tiempos de estancia T 1 ,T 2 ,... son independientes y cada uno
de ellos tiene distribuci´on exponencial. Rec´ıprocamente,dada una sucesi´on
de v.a.s independientes T 1 ,T 2 ,... con id´entica distribuci´on exponencial, el
proceso de conteo que puede construirse a partir de esta sucesi´on cumple la
propiedad de Markov.

P´erdida de memoria y sus consecuencias
Una de las propiedades que caracterizan de manera ´unica a la distribuci´on
exponencial dentro del conjunto de distribuciones absolutamente continuas
es que satisface la propiedad de p´erdida de memoria, esto es,si T tiene
distribuci´on exp λ , entonces para cualesquiera tiempos s, t 0se cumple
la igualdad
P T t s T s P T t .
En otras palabras, condicionada al evento T s , la variable T s sigue
teniendo distribuci´on exp λ . Esto significa que, para un valor de s 0
fijo, todos los tiempos de interarribo a partir de s, incluyendo el primero,
siguen teniendo distribuci´on exp λ , y por lo tanto el proceso de conteo
de eventos a partir del tiempo s es nuevamente un proceso de Poisson. A
esta propiedad se le conoce como la propiedad de renovaci´on del proceso de
Poisson. La situaci´on se muestra gr´aficamente en la Figura 6.5.

N t M t
3 2

2 1

1 t
t
s

Figura 6.5