Page 149 - riesgo2012

6.4. Cadenas de Markov 139

la distribuci´on del tiempo de absorci´on τ es geo p ,esto es,

P τ n 1 p n 1 p n 0, 1, 2,...

Si se postula como distribuci´on inicial a π π 0 , π 1 1 θ, θ sobre la
totalidad de los estados 0, 1 con 0 θ 1,entonces la distribuci´on de τ
es
1 θ si n 0,
P τ n n 1
θ 1 p p si n 1.

Concluimos esta secci´on mencionando algunas f´ormulas generales sobre las
distribuciones tipo fase discretas. M´as adelante veremos este mismo tipo de
distribuciones en su versi´on continua.

a) Usando la identidad (6.1) y el m´etodo de inducci´on, se puede de-
mostrar que la matriz de probabilidades de transici´on en n 1 pasos
es
P n T 1 n T 0 n .
e B e B

b) Partiendo de un estado no absorbente i, la probabilidad de estar en
el estado no absorbente j despu´es de n 1 pasos y en el siguiente
paso llegar al estado absorbente es, por la ecuaci´on de Chapman-
Kolmogorov,
T
π i B n 1 ij b .
j
Sumando sobre los valores de los ´ındices i y j se obtiene la funci´on de
probabilidad del tiempo de absorci´on τ:

π 0 si n 0,
f n
π B n 1 T si n 1.
b
c) La funci´on de distribuci´on del tiempo de absorci´on τ es

F n P τ n 1 P τ n ,

en donde P τ n es la probabilidad de que al tiempo n la cadena no
se encuentre en el estado absorbente. La probabilidad de pasar del es-
tado no absorbente i al estado no absorbente j en n pasos es π i B n ij .