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6.5. Proceso de Poisson 141

Por lo tanto,

E N t λt,
y Var N t λt.
As´ı, para cada tiempo t desconocemos el valor que toma N t , pero sabemos
que N t tiene distribuci´on Poisson λt . En nuestro caso, usaremos el proceso
de Poisson para modelar el n´umero de reclamaciones que llegan a una com-
pa˜n´ıa aseguradora hasta un tiempo t cualquiera. Una posible trayectoria de
un proceso de Poisson se muestra en la Figura 6.4.

N t ω
3

2
1

t

Figura 6.4

Tiempos de estancia exponenciales

No resulta evidente a partir de la definici´on que hemos dado delproceso de
Poisson, pero la din´amica de este proceso es la siguiente: elproceso empieza
en el estado cero y permanece en ese estado un tiempo aleatorio exponencial
de par´ametro λ, brinca despu´es al estado uno y nuevamente permanece
en ese nuevo estado otro tiempo exponencial con el mismo par´ametro e
independiente del tiempo de estancia anterior, despu´es brinca al estado dos
y as´ı sucesivamente. Es por ello que una posible trayectoriade esteproceso
tiene las caracter´ısticas que se muestran en la Figura 6.4: saltos unitarios
hacia arriba y tiempos de estancia exponenciales. De este modo pueden
definirse las variables T 1 ,T 2 ,... como los tiempos que transcurren entre un
salto y el siguiente. A tales variables aleatorias se les llama tambi´en tiempos
de interarribo. En el siguiente resultado que enunciamos sin demostraci´on,
se muestra la relaci´on entre la propiedad de Markov del proceso de Poisson
y los tiempos de estancia exponenciales.