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136 6. Procesos estoc´ asticos

De este modo la probabilidad de pasar del estado i al estado j en n pasos
se descompone en la probabilidad de las distintas trayectorias que inician
en i y terminan en j, pero que al tiempo intermedio r visitan el estado k,
sumando estas probabilidades sobre todos los posibles estados intermedios
k. Cuando n 0 se define

1si i j.
p ij 0
0si i j.

Por lo tanto, aplicando la identidad de Chapman-Kolmogorov n 1veces
tomando siempre como tiempo intermedio r 1,

p ij n P P P ij P n ij .

Es decir, la probabilidad buscada p ij n es la entrada i, j de la matriz
n
potencia P . As´ı, el problema de encontrar las probabilidades de transici´on
en n pasos se reduce al problema de calcular las potencias de la matriz de
probabilidades de transici´on en un paso. Las cadenas de Markov son modelos
ampliamente conocidos y la propiedad de Markov hace que estos procesos
sean muy atractivos de estudiar, pues dicha propiedad hace que ciertas
probabilidades sean f´aciles de calcular, como por ejemplo las probabilidades
p ij n que acabamos de mencionar. Las cadenas de Markov con frecuencia
aparecen dentro de otros modelos estoc´asticos de inter´es te´orico y aplicado.
Por ejemplo, el proceso de riesgo a tiempo discreto que presentaremos en
el siguiente cap´ıtulo resulta ser una cadena de Markov. En los textos de
Karlin y Taylor [20] o Norris [26] el lector puede encontrar una exposici´on
muy detallada de las cadenas de Markov.

Distribuciones discretas tipo fase

En esta secci´on definiremos un tipo de distribuci´on de probabilidad discreta
que surge a trav´es de una cadena de Markov. Para ello, la siguiente carac-
ter´ıstica ser´a de inter´es.