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132 6. Procesos estoc´ asticos

Definici´on 6.4 Un tiempo de paro respecto de una filtraci´on F t t 0 es
una funci´on τ : Ω 0, tal que τ t F t para cada t 0.

Esto es, un tiempo de paro es una variable aleatoria no negativa, con posible
valor infinito, tal que puede determinarse la ocurrencia o no ocurrencia del
evento τ t s´olo con la informaci´on o historia del proceso hasta el tiempo
t. Por ejemplo, y sin entrar en mayores detalles t´ecnicos, el tiempo aleato-
rio que transcurre hasta la ocurrencia de un cierto evento es un tiempo de
paro, este tiempo aleatorio puede ser, por ejemplo, el tiempo que transcurre
hasta la llegada de la n-´esima reclamaci´on a una compa˜n´ıa aseguradora.
Pueden definirse tambi´en tiempos de paro para filtraciones a tiempo discre-
to de manera completamente an´aloga a la definici´on anterior. Finalmente
mencionaremos que un tiempo de paro τ es finito si P τ 0.
En las siguientes secciones estudiaremos muy brevemente algunos tipos de
procesos estoc´asticos que usaremos en la ´ultima parte del texto.

6.3. Caminatas aleatorias

Una caminata aleatoria simple sobre el conjunto de n´umeros enteros Z es
un proceso estoc´astico a tiempo discreto X n : n 0, 1,... que evoluciona
de la siguiente forma: iniciando en el estado 0, al tiempo 1 el proceso puede
pasar al estado 1 con probabilidad p, o al estado 1 con probabilidad q,
en donde p q 1. Se usa la misma regla para los siguientes tiempos, es
decir, estando en el estado k, al siguiente instante el proceso pasa al estado
k 1 con probabilidad p, o al estado k 1 con probabilidad q. El valor de
X n es el estado donde se encuentra el proceso al tiempo n ypuedeescribirse
como
X n ξ 1 ξ 2 ξ n ,
en donde ξ 1 , ξ 2 ,... es una sucesi´on de variables aleatorias independientes
con id´entica distribuci´on

P ξ 1 p,
P ξ 1 q 1 p.