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6.2. Filtraciones y tiempos de paro 131

principalmente en los resultados que mencionaremos sobre martingalas, las
cuales constituyen un tipo de proceso estoc´astico importante.

Definici´on 6.2 Dado un espacio de probabilidad Ω, F,P ,a una familia
de sub σ-´algebras F t t 0 de F se le llama filtraci´on si para 0 s t,se
cumplen las contenciones

F s F t F.

Al espacio Ω, F,P, F t t 0 se le llama espacio de probabilidad filtrado.

El concepto de filtraci´on puede definirse de manera an´aloga tambi´en para
tiempos discretos. En ese caso se escribe F n n 0 y naturalmente la condi-

ci´on de monoton´ıa es F n F m F para 0 n m. El concepto de
adaptabilidad de un proceso estoc´astico respecto de una filtraci´on que se
enuncia a continuaci´on tambi´en tiene su contraparte discreta.

Definici´on 6.3 Se dice que un proceso a tiempo continuo X t : t 0
es adaptado a una filtraci´on F t t 0 si para cada t 0, la variable X t es
F t -medible.

Todo proceso estoc´astico X t : t 0 determina una filtraci´on natural dada
por

F t σ X s :0 s t , t 0.

No es dif´ıcil ver que todo proceso es adaptado a su filtraci´on natural. En
este caso a la σ-´algebra F t se le interpreta como la historia del proceso al
tiempo t, pues en ella se encuentran todos los posibles eventos o sucesos que
el proceso haya tenido hasta ese momento.