Page 140 - riesgo2012

130 6. Procesos estoc´ asticos

que mediante esta propiedad se est´a especificando un tipo de dependencia
entre las variables aleatorias del proceso. La propiedad de Markov puede
extenderse sin dificultad al caso cuando el proceso es a tiempo continuo y
daremos los detalles m´as adelante.

Procesos con incrementos independientes

Se dice que un proceso estoc´astico a tiempo continuo X t : t 0 tiene
incrementos independientes si para cualesquiera tiempos 0 t 1 t 2
t n , las variables aleatorias

X t 1 ,X t 2 X t 1 ,... ,X t n X t n 1

son independientes. Esto quiere decir que los desplazamientos que tiene el
proceso en estos intervalos disjuntos de tiempo son independientes unos de
otros. Cuando el proceso es a tiempo discreto la definici´on es completamente
an´aloga.

Procesos con incrementos estacionarios

Se dice que un proceso estoc´astico a tiempo continuo X t : t 0 tiene in-
crementos estacionarios si para cualesquiera tiempos s t, y para cualquier
h 0, las variables aleatorias X t h X s h y X t X s tienen la misma dis-
tribuci´on de probabilidad. Es decir, el incremento que tiene el proceso entre
los tiempos s y t s´olo depende de estos tiempos a trav´es de la diferencia
t s, y no de los valores espec´ıficos de s y t.Cuando elprocesoesa tiempo
discreto la definici´on es nuevamente an´aloga.

Las propiedades generales de los procesos estoc´asticos que hemos menciona-
do ser´an identificadas en los varios modelos estoc´asticos que veremos m´as
adelante.

6.2. Filtraciones y tiempos de paro

Definiremos en esta secci´on el concepto de filtraci´on y en particular definire-
mos la filtraci´on generada por un proceso estoc´astico. Con estos elementos
definiremos el concepto de tiempo de paro. Estos conceptos ser´an usados