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112 5. Teor´ ıa de la credibilidad

l´ımite, la parte izquierda de (5.1) es

¯
¯
P S E S kE S P S E S kE S
Var S m Var S m
kE S kE S
P Z
Var S m Var S m
kE S kE S
Φ Φ
Var S m Var S m
k mE S
2Φ 1.
Var S

Como esta probabilidad debe ser mayor o igual a p seg´un el criterio (5.1),
se obtiene la desigualdad

k mE S 1 p
Φ .
Var S 2

Deseamos encontrar el valor de m m´as peque˜no que cumpla esta desigual-
dad. Para ello consideraremos que se tiene la igualdad en esta ecuaci´on. Sea
q. Entonces
u q el q-cuantil de la distribuci´on normal, es decir Φ u q
k mE S
u 1 p 2 .
Var S

Despejando el par´ametro m se obtiene el siguiente resultado.

Proposici´on 5.1 Sea S 1 ,S 2 ,... ,S m una colecci´on de v.a.i.i.d. con media
y varianza finitas. La media muestral S S 1 S m m alcanza cre-
dibilidad completa k, p de manera aproximada cuando

u 2 Var S
m 1 p 2 . (5.2)
2
2
k E S

Tomando k 0.05 y p 0.9 tenemos que u 1 p 2 u 0.95 1.6449. Por lo