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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 262 — #268
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262 8. Movimiento Browniano

de que el movimiento Browniano que inicia en x nunca visite la bola de radio
r 1 alrededor del cero es, por (8.8),

l´ım P B τ r 2 antes que B τ r 1 B 0 x
r 2
ln x ln r 1
l´ım
r 2 ln r 2 ln r 1
0.

2
Es decir, la probabilidad de que el movimiento Browniano en R visite el
disco de radio r 1 alrededor del origen es uno. Y regresar´a a dicho disco en
una infinidad de tiempos no acotados. Este comportamiento se conoce con
el nombre de recurrencia por vecindades. Sin embargo, no se presenta la re-
currencia puntual, es decir, la probabilidad de que el movimiento Browniano
2
en R regrese exactamente al punto de origen es cero. Esto es consecuencia
nuevamente de (8.8) al tomar el l´ımite cuando r 1 0. Es decir, la probabi-
lidad de que el proceso tome el valor 0, 0 antes de que toque el c´ırculo de
radio r 2 es

l´ım P B τ r 1 antes que B τ r 2 B 0 x
r 1 0
ln x ln r 1
l´ım 1
r 1 0 ln r 2 ln r 1
0.

Ahora consideremos el caso n 3. La probabilidad de que el proceso que
inicia en x nunca visite el disco de radio r 1 alrededor del cero es, por (8.9),

l´ım P B τ r 2 antes que B τ r 1 B 0 x
r 2
r 2 n x 2 n
l´ım 1
r 2 r 2 n r 2 n
1 2
r 1 n 2
1
x
0.

Es decir, existe una probabilidad estrictamente positiva deque el proceso
nunca visite el disco de radio r 1 alrededor del origen, cuando inicia en x.

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