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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 155 — #161
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5.2. El generador infinitesimal 155

Ejemplo 5.4 El generador infinitesimal para el proceso de Poisson de pa-
r´ametro λ es
λ λ 0 0
0 λ λ 0
G 0 0 λλ . (5.5)
. . .
. . .
. . .
Ejemplo 5.5 El generador infinitesimal para la cadena de Markov de dos
estados del Ejemplo 5.3 es

λ λ
G . (5.6)
µ µ
Demostraremos a continuaci´on que el generador infinitesimal caracteriza de
manera ´unica a la cadena de Markov. As´ı, a esta misma matriz se le llama
aveces cadenade Markov a tiempocontinuo.

Proposici´on 5.4 El generador infinitesimal determina de manera ´unica a
la cadena de Markov a tiempo continuo.

Demostraci´on. Este resultado es consecuencia de la igualdad (5.3), pues
apartir del generador G g ij se obtienen los par´ametros iniciales que
definen a la cadena de Markov:

λ i g ii ,
0 si i j,
y p ij (5.7)
g ij g ii si i j.
!

Un proceso de Markov a tiempo continuo puede ser tambi´en definido a
partir del comportamiento de las probabilidades de transici´on p ij t cuando
t 0. Tales probabilidades se llaman a veces probabilidades infinitesimales,
ypueden expresarse en t´erminos de los par´ametros infinitesimales como
establece el siguiente resultado y del cual omitiremos su demostraci´on.

Proposici´on 5.5 Cuando t 0,

1. p ii t 1 g ii t o t .

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